Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ - ΕΠΙΚΕΝΤΡΗ - ΧΟΡΔΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΚΑΙ ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΤΕΜΝΟΥΣΩΝ

75 λεπτά

Εγγεγραμμένη - Επίκεντρη - Χορδής και εφαπτομένης

Φύλλα Εργασίας

Α΄ φάση:  Εγγεγραμμένη  γωνία , σχέση  εγγεγραμμένης  γωνίας  και  επίκεντρης, γωνία  χορδής  και  εφαπτομένης

Αρχικά  δίνεται  ένα  έτοιμο  αρχείο  με  το  όνομα  « ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ  ΓΩΝΙΑ  ggb ». Το  αρχείο  περιλαμβάνει   έναν  κύκλο  και  δυο  γωνίες, μια  επίκεντρη  και  μία  εγγεγραμμένη  που  βαίνουν  στο  ίδιο  τόξο, όπως  επίσης  και  κάποια  κουμπιά  επιλογής.Ζητείται  από  τους  μαθητές  να  πειραματιστούν  μετακινώντας  δυναμικά, τόσο  την  επίκεντρη  όσο  και  την  εγγεγραμμένη  γωνία.

Ακολουθεί  συζήτηση  στην  ολομέλεια  της  τάξης  σχετικά  με  τις  μεταβαλλόμενες  γωνίες  αλλά  και  με  το  τόξο  στο  οποίο  βαίνουν. Στην  συνέχεια  προτρέπουμε τους  μαθητές  να  κάνουν  εικασίες  για  τις  σχέσεις  των  δυο  γωνιών  και  των  τόξων  τους. Αναμένουμε  από  τους  μαθητές να  πειραματιστούν  και  να  διατυπώσουν  διάφορες  εικασίες, όπως  για  παράδειγμα, όταν  κινούμε  μόνο  την  εγγεγραμμένη  που  βαίνει  σε  κάποιο  τόξο  τότε  ίσως  αυτή  να  παραμένει  σταθερή. Επίσης  θα  δουν  ότι  όταν  μεγαλώνει  η  επίκεντρη  τότε  μεγαλώνει  και  η  εγγεγραμμένη. Ίσως  κάποιες  ομάδες  να  διατυπώσουν  και  εικασίες  για  την  αλγεβρική  σχέση  που  συνδέει  τις  παραπάνω  γωνίες.

Στην  συνέχεια  οι  μαθητές  καλούνται  να  μετρήσουν  τις  παραπάνω  γωνίες,  και  το  αντίστοιχο  τόξο,  να  σύρουν  με  δυναμικό  τρόπο  τόσο  την  επίκεντρη  όσο  και  την  εγγεγραμμένη και  από  το  μενού  προβολή , λογιστικό  φύλλο  να  πινακοποιήσουν  τις  μετρήσεις  τους και  να  διαπιστώσουν  την  σχέση  των  δυο  γωνιών  μεταξύ  τους  αλλά  και  με  το  τόξο  στο  οποίο  βαίνουν. Εναλλακτικά  μπορούν  να  τσεκάρουν  το  κουμπί  επιλογής  «ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ»  που  βρίσκεται  στο  περιβάλλον  του  λογισμικού  και  στην  συνέχεια  να  πειραματιστούν.

Στην  συνέχεια  οι  μαθητές  καλούνται  να  πατήσουν  το  κουμπί  επιλογής «ΧΟΡΔΗ»  όπου  θα  δουν  μια  δυναμική  γωνία  χορδής  και  εφαπτομένης καθώς  και  την  αντίστοιχη  εγγεγραμμένη  και  επίκεντρη  γωνία  που  βαίνει  στο  τόξο  της  χορδής. Αρχικά οι  μαθητές θα  διαπραγματευτούν  μετακινώντας  δυναμικά  τις  αντίστοιχες  γωνίες  σε  ερωτήματα  όπως:

Ποια  είναι  η  γωνία  χορδής  και  εφαπτομένης  και  ποιο  το  αντίστοιχο  τόξο; Ποια  είναι  η  αντίστοιχη  εγγεγραμμένη  που  βαίνει  στο  ίδιο  τόξο; Πως  είναι  το  σχήμα  όταν  η  γωνία  είναι  οξεία, ορθή, αμβλεία; Υπάρχει  σχέση  μεταξύ  των  γωνιών;  

Το  επόμενο  βήμα  είναι  να  μετρήσουν  την  γωνία  χορδής  και  εφαπτομένης  και  μεταβάλλοντας  δυναμικά  αυτή  να  καταλήξουν  για  την  σχέση  αυτής  με  την  αντίστοιχη  επίκεντρη  και  την  εγγεγραμμένη. Η  πινακοποίηση  είναι  το  επόμενο  βήμα  για  την  εξαγωγή  συμπερασμάτων  και  για  τις  τρείς  γωνίες.

Στην  συνέχεια  οι μαθητές  θα  τσεκάρουν  το  κουμπί  επιλογής  «ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ»  όπου  θα  δουν  τρία  σχήματα  τα  οποία  θα  τους  βοηθήσουν  για  την  εξαγωγή  συμπερασμάτων.

Με  το  πρώτο  σχήμα  αναμένουμε  από  τους  μαθητές  να  μετακινήσουν  δυναμικά  το  σημείο   και  να  διαπιστώσουν  ότι  όταν  η  εγγεγραμμένη  γωνία  βαίνει  σε  ημικύκλιο  είναι  ορθή.

Με  το  δεύτερο  σχήμα  οι  μαθητές  εύκολα  θα  διαπιστώσουν, μετακινώντας  τα  σημεία  του  κύκλου  Ο, Ν, Ξ  ότι  οι  εγγεγραμμένες  γωνίες  που  βαίνουν  στο  ίδιο  τόξο  είναι  ίσες.

Με  το  τρίτο  σχήμα  οι  μαθητές  θα  πειραματιστούν  ξανά  μετακινώντας  τόσο  τα  τόξα  όσο  και  τις  εγγεγραμμένες  γωνίες  και  θα  διαπιστώσουν  ότι  οι  εγγεγραμμένες  γωνίες  που  βαίνουν  σε  ίσα  τόξα  είναι  ίσες.

Εναλλακτικά  θα  μπορούσαμε  να  ζητήσουμε  από  τους  μαθητές  να  κατασκευάσουν  τα  παραπάνω  σχήματα, να  κάνουν  μόνοι  τους  τις  αντίστοιχες  μετρήσεις  και  να  καταλήξουν  στα  συμπεράσματα. Τσεκάροντας  το  κουμπί  επιλογής  « ΠΟΡΙΣΜΑΤΑ »  οι  μαθητές  θα  επιβεβαιώσουν  τα  συμπεράσματά  τους.

Στην  συνέχεια  ζητείται  από  τους  μαθητές  να  κατασκευάσουν  δυο  παράλληλες  χορδές  και  να  διαπιστώσουν  ότι τα  τόξα  που  περιέχονται  μεταξύ  αυτών  είναι  ίσα. Πατώντας  το  κουμπί  επιλογής «ΕΦΑΡΜΟΓΗ» θα  επαληθεύσουν  τα  συμπεράσματά  τους.    

Το  επόμενο  βήμα  είναι  οι  μαθητές  να  αποδείξουν  αλγεβρικά  πλέον  ότι  η  εγγεγραμμένη  γωνία  είναι  ίση  με  το  μισό  της  επίκεντρης  όταν  αυτές  βαίνουν  στο  ίδιο  τόξο. Για  να  βοηθήσουμε  τους  μαθητές  τους  δίνουμε  στο  φύλλο  εργασίας  τα  τρία απαραίτητα  σχήματα.

Τέλος  οι  μαθητές  θα  αποδείξουν  αλγεβρικά  ότι  η  γωνία  χορδής  και  εφαπτομένης  είναι  ίση  με  την  εγγεγραμμένη  γωνία  που  βαίνει  στο  τόξο  της  χορδής. Με  την  βοήθεια  του   σχήματος  που  δίνεται  στο  φύλλο  εργασίας  οι  μαθητές  δεν  αναμένεται  να  έχουν  ιδιαίτερα  προβλήματα.

 

ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΗ ΓΩΝΙΑ

Πίνακας τιμών για: Επίκεντρη - Εγγεγραμμένη - Χορδής και εφαπτομένης - Τόξο που βαίνουν

Διευκρίνιση: 
Από το λογιστικό φύλλο του Geogebra να κατασκευάσετε και να συμπληρώσετε πίνακα όπως ο παρακάτω:

Ερωτήσεις Σωστού ή Λάθους

Ερωτήσεις συμπλήρωσης κενών

Επέκταση

Διευκρίνιση: 
Με την βοήθεια του λογισμικού Geogebra, ζητείτε από τους μαθητές να ανακαλύψουν τον ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. Για την απόδειξη θα χρειαστεί η παρέμβαση του διδάσκοντα.
Δημιουργός Σεναρίου: ΙΩΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ (Εκπαιδευτικός)