Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Εκθετική συνάρτηση

60 λεπτά

Εισαγωγή στην εκθετική συνάρτηση

Φύλλα Εργασίας

Η φάση αυτή αποτελείται τα εξής στάδια

  • Προσέγγιση μέσα από ένα πρόβλημα
  • Δύναμη με άρρητο εκθέτη
  • Παραδείγματα εκθετικής στην καθημερινότητα (Αλυσοειδή)
  • Ορισμός του e
  • Ανακεφαλαίωση
  • Απλές ασκήσεις με άρρητους εκθέτες

 

Στάδιο 1

Στο (Σ1) οι μαθητές εμπλέκονται σε μια διαδικασία προσέγγισης της εκθετικής συνάρτησης μέσα από την ανάγκη δημιουργίας της για την επίλυση ενός προβλήματος.  Το αντίστοιχο αρχείο λογισμικού είναι το «εισαγωγή στην εκθετική » και το φύλλο εργασίας είναι το «Φύλλο εργασίας 1.1». Το αρχείο έχει φτιαχτεί έτσι ώστε οι πίνακες που ζητούνται στα ερωτήματα εργασίας να παρουσιάζονται αφού οι μαθητές έχουν αποφασίσει την αύξηση στο δρομέα της  χρονικής περιόδου και έχουν υλοποιήσει την κίνησή του. Με αυτό, επιτυγχάνουμε κατ’ αρχάς να “ελαφρύνουμε” τις εργασίες που θα πρέπει να κάνουν οι μαθητές στο λογιστικό φύλλο και που απαιτούν υψηλότερη της μέσης γνώσης για τις λειτουργίες του λογισμικού, ενώ συγχρόνως οι μαθητές δεν είναι απλοί χρήστες, αλλά συμμετέχουν ουσιαστικά και με τρόπο άμεσο, στην κατασκευή των αντίστοιχων πινάκων, αφού οι πίνακες δεν εμφανίζονται αν οι μαθητές δεν εισάγουν τα σωστά νούμερα (βήμα=1, ½ και 1/12).

Αξίζει να προσεχτεί ότι το πρόβλημα δημιουργίας της συνάρτησης προσεγγίζεται από δύο μεριές, αυτή της απεικόνισης σημείων στο επίπεδο και αυτή της δημιουργίας πίνακα τιμών, προσφέροντας έτσι ισχυρότατες αναπαραστάσεις και διασυνδέσεις.

Εκτιμούμε ότι με τις παραπάνω διαδικασίες επιτυγχάνουμε κατά το μέγιστο δυνατό,  την εστίαση των μαθητών στην 4η και ουσιαστική ερώτηση που αποσκοπεί στο να εισαχθεί μια συνάρτηση – δεν είναι απαραίτητο οι μαθητές να γνωρίζουν ότι η συνάρτηση λέγεται «εκθετική». Αυτό θα δοθεί από τον διδάσκοντα.

Οι μαθητές μπορούν να πληκτρολογήσουν τον τύπο της συνάρτησης στην εισαγωγή ή μπορούν να γράψουν στην εισαγωγή «εκθετική = 1» και να εμφανιστεί η συνάρτηση και ο τύπος της.

Προτείνεται ο διδάσκων να θέσει προφορικά μια 5η ερώτηση για το πώς μπορεί αυτή η συνάρτηση να οριστεί για κάθε πραγματικό αριθμό x. Δεν συμπεριλάβαμε την ερώτηση αυτή στο φύλλο εργασίας για να μην προδικάσουμε μια απάντηση στην 4η ερώτηση. Όπως έχουμε αναφέρει στα αρχικά (Γενική περιγραφή περιεχομένου) προτείνεται η ομαδοσυνεργατική διδασκαλία, άρα θα επιθυμούσαμε να βγει η απάντηση από τις ομάδες. Θέτοντας λοιπόν προφορικά την ερώτηση ο διδάσκων προετοιμάζει το έδαφος για την εισαγωγή στις δυνάμεις με άρρητο εκθέτη, όπως επίσης για την απαίτηση η βάση να είναι μεγαλύτερη του 0 , ως επέκταση των ρητών δυνάμεων και διάφορη του 1, αφού τότε αποτελεί τετριμμένη περίπτωση σταθερής συνάρτησης.

Ο δρομέας α που χρησιμοποιείται, έχει τεθεί αρχικά στο 1,2 όπως απαιτείται από το πρόβλημα, αλλά μπορεί να πάρει διάφορες τιμές, επιτρέποντας έτσι τους πειραματισμούς  από τους μαθητές

 

Στάδιο 2

Στο (Σ2) μετά από τη συζήτηση που θα έχει προηγηθεί από το προηγούμενο ερώτημα οι μαθητές θα εμπλακούν σε δραστηριότητες με σχετικό αρχείο Excel «Δύναμη με άρρητο εκθέτη», όπου θα δουν πως προσεγγίζεται η δύναμη με άρρητο  εκθέτη. Για την πλήρη λειτουργικότητα του αρχείου, θα πρέπει να κατέβει τοπικά σους υπολογιστές. Ο διδάσκων μπορεί να χρησιμοποιήσει το «φύλλο εργασίας 1.2» ή για θέμα χρόνου – δεν συνιστάται – μπορεί να προβεί και σε απλή παρουσίαση χρησιμοποιώντας το αντίστοιχο αρχείο. Από τους μαθητές αναμένεται να μπορούν να δώσουν μια περιγραφή της διαδικασίας που ακολουθείται. Ο ορισμός θα δοθεί μετά από τον διδάσκοντα.

 

Στάδιο 3

Παρουσιάζονται στους μαθητές εικόνες αντικειμένων, τα οποία μοντελοποιούνται με  αλυσοειδή ως ένα παράδειγμα εφαρμογής της εκθετικής και οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν με το αντίστοιχο αρχείο λογισμικού «αλυσοειδής συνάρτηση» συμπληρώνοντας τις ερωτήσεις αντιστοίχησης. Για το συγκεκριμένο κομμάτι μπορεί ο διδάσκων – αν εκτιμά ότι δεν επαρκεί ο χρόνος – να κάνει αναφορά στα αλυσοειδή,  διότι το στάδιο αυτό είναι βοηθητικό επίσης, για  την εισαγωγή στον αριθμό e και να αναθέσει τα υπόλοιπα  ως εργασία στο σπίτι.

 

Στάδιο 4

Στην παραπάνω συνάρτηση (αλυσοειδή) εμφανίζεται η εκθετική συνάρτηση με βάση το e, ως απαραίτητο δομικό της στοιχείο. Οπότε ο διδάσκων δίνει τον ορισμό του e και οι μαθητές δημιουργούν οπτικές αναπαραστάσεις για αυτό με τη βοήθεια του αρχείου «ορισμός του e».

 

Στάδιο 5

Γίνεται ανακεφαλαίωση των όσων έχουν αναφερθεί άμεσα ή έμμεσα μέχρι στιγμής και αναφέρονται  οι ιδιότητες δυνάμεων ως γενίκευση πλέον για όλους του πραγματικούς αριθμούς.

 

Στάδιο 6

Περιέχονται απλές εφαρμογές για ισχυροποίηση του ό,τι οι μαθητές μπορούν να εφαρμόζουν τις ιδιότητες των δυνάμεων και όταν οι εκθέτες είναι άρρητοι. Εργαζόμαστε με το Φ.Ε. 1.3

 

Εισαγωγή στην εκθετική συνάρτηση

Διευκρίνιση: 
Σχετικό Φ.Ε.: 1..Πρέπει να ενεργοποιηθεί η "Εισαγωγή΄" Από τις τρεις οριζόντιες γραμμές επάνω δεξιά, επιλέγουμε προβολή και τσεκάρουμε το κουτί της "Εισαγωγής". Αλλιώς κατεβάστε το από εδώ https://tube.geogebra.org/m/tifVHq48

Δύναμη με άρρητο εκθέτη

Διευκρίνιση: 
Σχετικό Φ.Ε.: 2

Αλυσοειδή

Η αλυσοειδής συνάρτηση

Βρείτε την κατάλληλη αλυσοειδή

Ορισμός του e

Γραφική παράσταση εκθετικής συνάρτησης

Διευκρίνιση: 
Πλησιάστε το ποντικί στην γραφική παράσταση για να δείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f

Εισαγωγή στην εκθετική συνάρτηση -Ανακεφαλαίωση

Ιδιότητες δυνάμεων - έλεγχος

Δημιουργός Σεναρίου: ΜΑΡΙΟΣ ΣΠΑΘΗΣ (Εκπαιδευτικός)
Έλεγχος Σεναρίου με τα Προγράμματα Σπουδών: ΚΕΙΣΟΓΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ (Σχολικός Σύμβουλος)
Έλεγχος Επιστημονικής Επάρκειας Σεναρίου: ΣΚΟΥΡΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ (Συντονιστής)