Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Θεώρημα Bolzano

45 λεπτά

Θεώρημα Bolzano και εύρεση λύσεων

Φύλλα Εργασίας

Αρχικά πραγματοποιείται συζήτηση με τους μαθητές και επιχειρείται να φανεί αν οι μαθητές είναι σε θέση να περιγράψουν το θεώρημα.

Θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και, επιπλέον, ισχύει f(α)·f(β)<0 τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον x0 που ανήκει στο (α, β),  τέτοιο ώστε f(x0) = 0. Δηλαδή, η εξίσωση f(x) = 0 έχει στο διάστημα (α, β) μια τουλάχιστον λύση.

Οι μαθητές εργάζονται σε ομάδες των δύο ατόμων.Ο ρόλος τους θα είναι αυτός του ερευνητή/τριας.Ο εκπαιδευτικός έχει το ρόλο του παρατηρητή κατά τη διάρκεια της διερεύνησης που κάνουν οι μαθητές,ενώ μπορεί να παρέμβει με αναστοχαστικά και παρωθητικά σχόλια.

Στη συνέχεια εργάζονται με το λογισμικό Function Probe, όπου καλούνται να μελετήσουν συγκεκριμένες συναρτήσεις. Μέσω του σχεδιασμού των γραφημάτων εντοπίζουν την ύπαρξη ή μη των ριζών και έχουν μία αρχική προσέγγιση για την περιοχή που βρίσκεται η ρίζα (οι ρίζες). Με τη βοήθεια των δραστηριοτήτων της πρώτης διδακτικής περιόδου, οι μαθητές α) θα χρησιμοποιήσουν τις γνώσεις τους στην εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano στα Μαθηματικά β) θα εξηγήσουν γιατί και σε ποια περίπτωση χρειάζεται να χωρίσουν το διάστημα στο οποίο ζητούνται οι ρίζες σε δύο ή περισσότερα διαστήματα και να εφαρμόσουν το θεώρημα Bolzano σε καθένα απ' αυτά.

Με το Φ.Ε. 1.1 οι μαθητές/τριες θα εφαρμόσουν το Θ. Bolzano αφού προβληματιστούν για το διάστημα που θα πρέπει να επιλέξουν για να εφαρμόσουν το θεώρημα.Περιμένουμε ότι όλοι οι μαθητές δεν θα επιλέξουν το ίδιο διάστημα.Αυτό το σημείο θα αποτελέσει αφορμή για συζήτηση.Με την ποικιλομορφία των διαστημάτων θα διαπιστώσουν ότι αν υπάρχει λύση σε ένα διάστημα τότε υπάρχει λύση και σε οποιοδήποτε μεγαλύτερο διάστημα το οποίο περιλαμβάνει το μικρότερο,χωρίς να ισχύει το αντίστροφο.

Η γεωμετρική εποπτεία θα αναδείξει τους παραπάνω προβληματισμούς των μαθητών.

Με το Φ.Ε. 1.2 οι μαθητές αφού παρατηρήσουν με τη γεωμετρική εποπτεία ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο λύσεις καλούνται να ελέγξουν αλγεβρικά σε ποια διαστήματα εμφανίζονται οι δύο λύσεις.Περιμένουμε ότι όλοι οι μαθητές δεν θα επιλέξουν ίδια διαστήματα οπότε αυτό θα δώσει το έναυσμα να γίνει συζήτηση για το ποιό διάστημα είναι το πιο σωστό.

Τέλος οι μαθητές με τη γενίκευση των συμπερασμάτων διαπιστώνουν ότι το θεώρημα μπορεί να εφαρμοστεί για την εύρεση τουλάχιστον δύο λύσεων,τριών λύσεων και περισσοτέρων.

Με το Φ.Ε. 1.3 θα διαπιστώσουν ότι όταν η συνάρτηση είναι κλασματικής μορφής και ζητείται λύση της εξίσωσης f(x)=0 σε διάστημα που οι τιμές των άκρων μηδενίζουν τον παρονομαστή της συνάρτησης τότε δεν μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα.

Πρέπει οι μαθητές να θεωρήσουν καινούργια εξίσωση η οποία όμως πρέπει να είναι ισοδύναμη της αρχικής.Περιμένουμε ότι οι μαθητές θα προβληματιστούν αρκετά στην εύρεση της καινούργιας εξίσωσης.

 

Δημιουργός Σεναρίου: ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΑΡΑΦΗΣ (Εκπαιδευτικός)