Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Θεώρημα Bolzano

45 λεπτά

Οι υποθέσεις του θεωρήματος δεν είναι αναγκαίες

Φύλλα Εργασίας

Αρκετοί μαθητές θεωρούν ότι για να έχει μια εξίσωση τουλάχιστον μια λύση θα πρέπει να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano.Oι προϋποθέσεις του θεωρήματος είναι ικανές αλλά όχι αναγκαίες.Οι μαθητές παρερμηνεύουν το θεώρημα,υποστηρίζοντας ότι όταν δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος,τότε δεν μπορεί να υπάρχουν σημεία μηδενισμού της f.

Με το Φ.Ε. 2.1 οι μαθητές υπολογίζουν ότι f(1),f(4)>0 και ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο [1,4].Μια πρώτη αντίδραση είναι να πιστέψουν ότι η συνάρτηση f δεν τέμνει τον άξονα x΄x διότι δεν ικανοποείται η μία προϋπόθεση του θεωρήματος.Όμως από τη γεωμετρική εποπτεία παρατηρούν ότι αυτό έρχεται σε αντίθεση με το προηγούμενο αποτέλεσμα.Δηλαδή παρατηρούν ότι η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x΄x στις τιμές 2 και 3. 

Δεν ισχύει η προϋπόθεση ότι οι τιμές των άκρων είναι ετερόσημες παρ΄όλα αυτά έχουμε δύο λύσεις.Περιμένουμε οι μαθητές να προβληματιστούν για τα διαφορετικά συμπεράσματα.Μετά από συζήτηση συμπεραίνουν οι μαθητές ότι μπορεί να μην ισχύει κάποια από τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano αλλά η εξίσωση f(x)=0 μπορεί να έχει λύση.

Στο σημείο αυτό ο διδάσκων θέτει προς συζήτηση,με αφορμή το κλειστό διάστημα [1,4], τις περιπτώσεις εφαρμογής του θεωρήματος σε διαστήματα της μορφής [α,β),(α,β],[α,β];

Με το Φ.Ε. 2.2 οι μαθητές σταδιακά καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι το Θεώρημα Bolzano εφαρμόζεται και σε περιπτώσεις όπου το διάστημα δεν είναι της μορφής (α,β).Στις περιπτώσεις των διαστημάτων [α,β),(α,β],[α,β] πρέπει να γίνει έλεγχος αν τα άκρα των διαστημάτων( όπου είναι κλειστό) είναι ρίζες της εξίσωσεις.Έτσι οι μαθητές γενικεύουν το συμπέρασμα του Θ. Bolzano,ότι δηλαδή το θεώρημα εφαρμόζεται και σε περιπτώσεις όπου το διάστημα δεν είναι της μορφής (α,β).

Με το Φ.Ε. 2.3 οι μαθητές υπολογίζουν ότι η f δεν είναι συνεχής στο x=3 και f(1),f(6)<0.Δηλαδή δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano (η f δεν είναι συνεχής για x=3 , και οι τιμές της f στα άκρα του πεδίου ορισμού είναι ομόσημες) .Όμως από τη γεωμετρική εποπτεία παρατηρούν ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο x=2 .Έτσι διαπιστώνουν οι μαθητές ότι μπορεί να μην ισχύει καμία από τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano αλλά η εξίσωση f(x)=0 μπορεί να έχει λύση.

Από το διδάσκοντα τίθεται το ερώτημα:τελικά τι ισχύει για τις προϋποθέσεις του Θ. Bolzano;

Μετά την ενασχόληση με τα φύλλα εργασίας και με τις συζητήσεις που προηγήθηκαν οι μαθητές καταλήγουν τελικά ότι οι προϋποθέσεις του θεωρήματος είναι ικανές αλλά όχι αναγκαίες.

 

Δημιουργός Σεναρίου: ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΑΡΑΦΗΣ (Εκπαιδευτικός)