Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Μήκος και εμβαδό κύκλου

75 λεπτά

Μήκος κύκλου

Φύλλα Εργασίας

   Ο εκπαιδευτικός θέτει στην τάξη τον προβληματισμό της εύρεσης τύπου , που να δίνει αυτόματα την αριθμητική τιμή των ζητούμενων μεγεθών, τονίζοντας πως , η προηγηθείσα διαδικασία απαιτεί αποκλειστικά χρήση του λογισμικού αρχείου και επομένως δεν είναι δόκιμη.

1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

     Παρατηρώντας οι μαθητές την καμπύλη που διαγράφουν τα σημεία  της μορφής (ρ, L) , αναμένεται να διαπιστώσουν τη γνωστή γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ  και κατά συνέπεια να αναδειχθεί ο αντίστοιχος μαθηματικός τύπος L=6,28ρ.

Στο φύλλο εργασίας 1.

Στην ερ.1 αναμένεται να απαντήσουν ότι εξαρτάται από την ακτίνα του.

Στην ερ.2 ίσως χρειαστεί η δυναμικότερη παρέμβαση του διδάσκοντα, ώστε η μαθητές να κάνουν την απαιτούμενη μετάβαση στην έννοια της συνάρτησης, ως αλληλεξάρτηση δυο μεγεθών.

    Αναμένεται οι μαθητές να καταλήξουν στην αναγκαιότητα του έλεγχου  της συμμεταβολής του μήκους του κύκλου  σε σχέση με την ακτίνα του.

Στις ερ. 7-8 αναμένεται να απαντήσουν ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων , της μορφης ψ=αχ

Στις ερ. 9-10 αφου θα εχουν υπολογίσει την παράμετρο α και αντικαταστήσουν συμβολικά τα χ και ψ, θα αναδειχθεί ο αντίστοιχος μαθηματικός τύπος L=6,28ρ.

     Στο τέλος  ο εκπαιδευτικός, εκμεταλλευόμενος τη δυνατότητα ‘’ζουμαρίσματος’’ που παρέχει το λογισμικό, μπορεί να καταδείξει εποπτικά στους μαθητές την άρρητη μορφή του π.

     Ζητά από αυτούς, αφού διαγραφούν οι γραφικές παραστάσεις , να εμφανίσουν τα εγγεγραμμένα- περιγεγραμμένα πολύγωνα και να  ‘’ζουμάρουν’’ ένα σημείο της περιφέρειας του κύκλου.

    Έτσι θα φανεί ότι η αριθμητική ταύτιση δεν είναι απόλυτα ακριβής, αλλά αφορά ταύτιση με προσέγγιση εκατοστού και πως αυξανόμενο το n επιτυγχάνεται σταδιακή  προσέγγιση στο επόμενο δεκαδικό ψηφίο.

   Αναμένεται να αντιληφτούν οι μαθητές πως έχουμε τη δυνατότητα να προσεγγίζουμε όλο και καλύτερα το π,δηλ με μεγαλύτερο πλήθος δεκαδικών ψηφίων, αλλά δεν μπορούμε να το ορίσουμε με απόλυτη ακρίβεια, δηλ. να καταδειχτεί η άρρητη μορφή του.

 

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΑΚΤΙΝΙΟΥ

        Ο εκπαιδευτικός ενημερώνει τους μαθητές ότι πρόκειται να ασχοληθούν εκ νέου με τον υπολογισμό  του μήκους κύκλου , αλλά χρησιμοποιώντας διαφορετική διαδικασία από αυτές που προηγήθηκαν.

    Ενημερώνει τους μαθητές ότι αυτή η εκ νέου επαναδιαπραγμάτευση έχει ως στόχο:

  • την καλύτερη κατανόηση εννοιών που έχουν διδαχτεί,
  • να διαπιστώσουν ότι η επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος μπορεί να επιτευχτεί μέσα από διαφορετικές πορείες και συλλογιστικές.

     Η προσέγγιση του τύπου L=6,28ρ  προτείνεται να πραγματοποιηθεί με τη χρήση  του ακτινίου, ως μονάδα μέτρησης τόξων.

     Στο αρχείο λογισμικού GEOGEBRA  ο διδάσκον παρουσιάζει ένα κύκλο μεταβλητής ακτίνας ρ, στον οποίο θα οριστεί τόξο μεταβλητού μήκους και η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία του. Οι μαθητές καλούνται να κατασκευάσουν τόξο, μήκους όσο η ακτίνα, δηλ. ένα ακτίνιο και να παρατηρήσουν ότι η αντίστοιχη επικεντρη γωνία παραμένει σταθερή σε κάθε μεταβολή του ρ . Έτσι με τη βοήθεια του διδάσκοντα, μέσω του λόγου : (3600/επικεντρη γωνία)=6,28 , οι μαθητές μπορούν να αντιληφτούν ότι η περιφέρεια του κύκλου περιλαμβάνει 6,28 ακτίνια και να συμπεράνουν τον τύπο του μήκους κύκλου.

 

Στο φύλλο εργασίας 2

Στην ερ. 2 ο διδάσκον ,προφορικά, δίνει οδηγίες για την παραπάνω εντολή δηλ. να ορίσουν δυο σημεία στον κύκλο, ένα σταθερό, το σημείο τομής του κύκλου και του άξονα χ/χ και ένα μεταβλητό και  κατόπιν να ορίσουν το αντίστοιχο τόξο. Στη συνέχεια να εμφανίσουν την τιμή του τόξου και της ακτίνας και να τα χρωματίσουν με το ίδιο χρώμα. Με κατάλληλες μετακινήσεις του μεταβλητού άκρου θα κατασκευάσουν  το ζητούμενο τόξο με το ζητούμενο μήκος. Τέλος θα σταθεροποιήσουν το μεταβλητό άκρο του τόξου. ( ιδιότητες → βασικά → σταθερό αντικείμενο)

Αν διατίθεται και προτζέκτορας , για να μη χαθεί άσκοπα χρόνος, μπορεί ο διδάσκον να παρουσιάσει τις κατασκευή.

 

   Στην ερ. 6  ο διδάσκον θα καλέσει τις ομάδες, οι οποίες εργάστηκαν με ακτίνες διαφορετικών τιμών, να ανακοινώσουν το αποτέλεσμα στο οποίο κατέληξαν και έτσι οι μαθητές θα διαπιστώσουν ότι , το μέτρο της επίκεντρης  γωνίας είναι σταθερό και ανεξάρτητο από την ακτίνα. Κατόπιν, προφορικά, θα ζητηθεί να εμφανίσουν, από το  κουμπί επιλογής, το ακτίνιο και να επιβεβαιώσουν την ορθότητα της κατασκευής τους.

   Στη συνέχεια θα ζητηθεί από τους μαθητές, προφορικά, να προσπαθήσουν να βρουν, με όποιο τρόπο θεωρούν κατάλληλο, πόσα ακτίνια περιλαμβάνει η περιφέρεια του κύκλου.

      Θα δοθεί ο απαιτούμενος  χρόνος στους μαθητές να πειραματιστούν. Κατά πάσα πιθανότητα θα προσπαθήσουν να το λύσουν κατασκευαστικά και θα φτάσουν στο συμπέρασμα του 6 και ‘’κάτι’’.

     Εν ευθέτω χρόνω, πρέπει να επέμβει βοηθητικά ο διδάσκον ζητώντας από τους μαθητές να προσδιορίσουν το πλήθος των ακτίνιων , μέσω του πλήθους των αντίστοιχων επίκεντρων  γωνιών.

     Με κατάλληλες ερωτήσεις να υπενθυμίσει την έννοια του λόγου ως έκφραση σύγκρισης δυο μεγεθών (πόσες φορές είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο το ένα από το άλλο) και κατά συνέπεια  θα οδηγηθούν στον λόγο:  (3600/επικεντρη γωνία)=6,28.

Στο ερ 9. αναμένεται να διαπιστώσουν ότι L=6,28 .(μήκος ακτινίου), άρα L=2πρ.

Στο σημείο αυτό δίνεται η δυνατότητα να ξεκαθαρίσουν οι μαθητές τη διαφορά του 2π από το 2π rad.

Ο διδάσκον θα θεσει προφορικά το ερώτημα με τι ισούται το 2π.

Αναμένεται κάποιοι μαθητές να απαντήσουν 6,28 και κάποιοι 3600.

Αυτό θα προκαλέσει προβληματισμό και συζήτηση, η οποία αναμένεται να καταλήξει στην διαπίστωση ότι  ο 2π είναι καθαρός αριθμός δηλ. 2π=6,28,

ενώ  2π rad=6,28.(ακτίνιο)= 6,28.(μήκος ακτίνας)=πλήρης κυκλος=3600  

 

(ερ. 10)

 

ΣΥΜΜΕΤΑΒΟΛΗ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ-ΑΚΤΙΝΑΣ

ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ-ΑΚΤΙΝΙΟ

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΑΡΡΗΤΟΥ π

ΕΡΩΤΗΣΗ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1

ΕΡΩΤΗΣΗ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 2

Δημιουργός Σεναρίου: ΓΙΑΝΝΟΥΛΑ ΠΑΓΙΑΒΛΗ (Εκπαιδευτικός)