Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι εφαρμογές τους

60 λεπτά

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημχ, συνχ, εφχ

Φύλλα Εργασίας

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να εισαχθούν με διάφορους τρόπους. Οι ορισμοί έχουν δοθεί στο Γυμνάσιο με τη μορφή λόγων των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και είναι βασισμένοι πάνω στην έννοια της γωνίας που είναι μια δύσκολη έννοια.

Στη φάση αυτή θα ορίσουμε εκ νέου τους τριγωνομετρικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, επεκτείνοντας τους ήδη γνωστούς ορισμούς με τους λόγους. Το μεγάλο πλεονέκτημα της χρήσης του κύκλου στη διαδικασία μέτρησης γωνιών είναι οι γωνίες μπορεί να υπερβαίνουν τις 90 μοίρες, ενώ στο τρίγωνο δεν υπάρχει αυτή η δυνατότητα. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τα ακτίνια, επεκτείνουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε εφαρμογές που δεν περιέχουν γωνίες, αλλά οποιαδήποτε μονάδα, όπως π.χ. ο χρόνος.

Πιο συγκεκριμένα, αρχικά οι μαθητές παρακολουθούν ένα βίντεο όπου το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται σαν την τεταγμένη και την τετμημένη σημείου αντίστοιχα πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο.Το γνωστό μας ορθογώνιο τρίγωνο είναι ορατό σε κάθε τεταρτημόριο κατά την κίνηση πάνω στον κύκλο και έρχεται σε συμφωνία με τα όσα ήδη γνωρίζουν οι μαθητές. Στη συνέχεια είναι αναγκαίο να θυμηθούν οι μαθητές το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών και να γίνει συζήτηση πάνω στη χρησιμότητα και το σκοπό που εξυπηρετεί η χρήση του ακτινίου στον οριζόντιο άξονα ( π.χ. ίδιες μονάδες και στους δύο άξονες κ.α.) και στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής. Τέλος, με τη βοήθεια του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας Geogebra και των φύλλων εργασίας, οι μαθητές δημιουργούν μόνοι τους, διερευνούν δυναμικά και κατασκευάζουν την ημιτονοειδή καμπύλη μεταβάλλοντας γωνίες, καθώς η μεταβολή αυτή αποτυπώνεται σε νέο σύστημα συντεταγμένων. Οδηγούνται στο συμπέρασμα ότι σε κάθε τιμή της γωνίας χ αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του ημιτόνου και ορίζουν τη συνάρτηση του ημιτόνου, ενώ ακολουθεί η μελέτη της. Επαναλαμβάνουν τη διαδικασία για τη συνάρτηση του συνημιτόνου, ενώ ο ορισμός και η μελέτη της συνάρτησης της εφαπτομένης προτείνεται σαν εργασία για το σπίτι.

Σε όλη τη διάρκεια της φάσης οι μαθητές δουλεύουν ομαδικά, πειραματίζονται και εξάγουν συμπεράσματα, τα οποία συζητούν με το σύνολο του τμήματός τους.

 

 

Επέκταση των τριγωνομετρικών αριθμών για οποιαδήποτε γωνία

Διευκρίνιση: 
Επειδή το βίντεο είναι στην αγγλική γλώσσα, θα γίνει η απαραίτητη μετάφραση και θα δίνονται επεξηγήσεις στους μαθητές κατά τη διάρκεια προβολής του.
Σχόλιο: 
Φύλλο εργασίας 1

Από τις γωνίες στους πραγματικούς αριθμούς

Η απεικόνιση του R στον τριγωνομετρικό κύκλο

Σχόλιο: 
Φύλλο εργασίας 1

Ορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου

Σχόλιο: 
Φύλλα εργασίας 2,3,4

Μια γρήγορη επανάληψη

Δημιουργός Σεναρίου: Μαρία Καλογήρου (Εκπαιδευτικός)