Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος και δημιουργία αρχικής συνάρτησης

60 λεπτά

Η συνάρτηση-ολοκλήρωμα

Φύλλα Εργασίας

Η φάση αυτή αποτελείται από τα εξής στάδια

  • Δημιουργία της «συνάρτησης – ολοκλήρωμα» μέσα από πίνακα τιμών και μέσα από ίχνος σημείου
  • Ανακάλυψη μέσω εποπτείας  της ιδιότητας ότι η «συνάρτηση – ολοκλήρωμα» είναι αρχική της f
  • Ακούσιες εφαρμογές του θεμελιώδους θεωρήματος ολοκληρωτικού λογισμού (δεν θα έχει διατυπωθεί)

Στάδιο 1

Για τη δημιουργία της συνάρτησης μέσω πίνακα τιμών το σχετικό αρχείο είναι το  συνάρτηση – ολοκλήρωμα (δημιουργία με πίνακα τιμών)    με αντίστοιχο φύλλο εργασίας το Φ.Ε.1. Στο φύλλο αυτό ο μαθητής έχει να ασχοληθεί με 6 ερωτήσεις και ουσιαστικά να απαντήσει την τελευταία, αφού οι άλλες δύο (ερ.2 και 4, εκτιμούμε ότι θα απαντηθούν “φυσιολογικά”). Εν τούτοις, απαιτείται να αφιερωθεί ένας εύλογος χρόνος, διότι απαιτεί καλή χρήση του λογισμικού. Αν ο διδάσκων εκτιμά – για θέμα χρόνου και μόνο –, θα μπορούσε ίσως  να μην υλοποιήσει αυτή τη δραστηριότητα και να πάει κατευθείαν στην προσέγγιση της συνάρτησης μέσα από ίχνος σημείου. Παρ’ όλα αυτά εκτιμούμε ότι η προσέγγιση της συνάρτησης μέσα από των πίνακα τιμών και μέσα από το σχεδιασμός της δημιουργεί ισχυρότατες αναπαραστάσεις και νοητικά σχήματα στους μαθητές, γι’ αυτό και δεν προτείνουμε να παραληφθεί. Θα πρέπει να αναφέρουμε ότι με την ολοκλήρωση της ερώτησης 6, δίνεται από τον διδάσκοντα ο ορισμός της συνάρτησης ολοκλήρωμα, αλλά όχι ακόμα η ιδιότητά της, ότι δηλαδή είναι αρχική της f. Επίσης, ας σημειωθεί ότι ο ορισμός εδώ θα πρέπει να μείνει μόνο στο επίπεδο του ότι απλά ορίζουμε μια συνάρτηση. Η εμβάθυνση στο τι κάνει αυτή η συνάρτηση προκύπτει από τα ερωτήματα στο Φ.Ε. 2.

Να σημειώσουμε ακόμη ότι το κουμπί «καθαρισμός» επιτρέπει την επανάληψη όσων δοκιμών επιθυμεί ο μαθητής, όπως αναφέρεται και στο Φ.Ε.

Για τη δημιουργία της συνάρτησης μέσω ίχνους σημείου το σχετικό αρχείο είναι το  συνάρτηση – ολοκλήρωμα (δημιουργία με ίχνος σημείου)    με αντίστοιχο φύλλο εργασίας το Φ.Ε.2. Εδώ οι απαιτήσεις από τη χρήση του λογισμικού από τους μαθητές είναι αρκετά λιγότερες. Πάλι, όπως και πριν, με την ολοκλήρωση της ερώτησης 4, δίνεται από τον διδάσκοντα ο ορισμός της συνάρτησης ολοκλήρωμα, ή υπενθυμίζεται, αν έχει δοθεί στην προηγούμενη δραστηριότητα, επικυρώνοντας αυτά που αναμένεται να έχουν βγει από τις ομάδες. Υπενθυμίζουμε ότι ακόμα δεν μπορεί να δοθεί η ιδιότητά της, ότι δηλαδή είναι αρχική της f.

Με βάση τις παραπάνω προσεγγίσεις στο θέμα (πίνακας τιμών και ίχνος σημείου), οι μαθητές πλέον γνωρίζουν ότι μπορούν να δημιουργήσουν άπειρες τέτοιες συναρτήσεις – ολοκλήρωμα, αρκεί να επιλέξουν ένα διαφορετικό α κάθε φορά και στη συνέχεια κρατώντας το σταθερό, να επαναλάβουν την παραπάνω διαδικασία. Οι συναρτήσεις αυτές θα τους δίνουν απάντηση (μέσω της τεταγμένης των σημείων τους) για τον υπολογισμό των εμβαδών. Δεν μπορούν όμως ακόμη να έχουν εποπτεία τουλάχιστον για το ό, τι αυτή η συνάρτηση που δημιουργούν είναι αρχική της f. Αυτό  μπορεί να γίνει μετά την περάτωση και του  3ου φύλλου εργασίας.

Στάδια 2, 3

Να σημειώσουμε πρώτα ότι αν ο διδάσκων έχει προτιμήσει τελικά να κάνει προσέγγιση μόνο μέσα από τον πίνακα τιμών, για τη συνέχεια της εργασίας απαιτείται να έχει προσεγγιστεί έστω και εν τάχει η συνάρτηση – ολοκλήρωμα μέσω της δημιουργίας της από ίχνος, οπότεο διδάσκων  θα πρέπει να προβεί τουλάχιστον σε μια σύντομη παρουσίαση με βιντεοπροβολέα

Εργαζόμαστε στο υπάρχον αρχείο  συνάρτηση – ολοκλήρωμα (δημιουργία με ίχνος σημείου)  με σχετικό φύλλο εργασίας το Φ.Ε.3

Σε ότι αφορά στην ερ.1 να σημειώσουμε ότι στις οθόνες τους οι μαθητές ή θα έχουν δύο καμπύλες, την G και το γ.τ. του Μ, ή θα έχουν τρεις καμπύλες, την G, το ίχνος του Μ από την πρώτη κίνηση και το γ.τ. του Μ. Σε κάθε περίπτωση η απάντηση οφείλει να είναι κοινή και έτσι αρχίζει η “ταύτιση” της «συνάρτησης – ολοκλήρωμα» με μια αρχική της f. Θα πρέπει στη συνέχεια οι μαθητές να ανακαλύψουν πώς μπορούν να μεταβούν από τη μία συνάρτηση στην άλλη, δηλαδή να μας πουν ότι διαφέρουν κατά μια σταθερά και μάλιστα να προσδιορίσουν αυτή τη σταθερά

Αναμένεται σε κάποια από τις ερ.1 ή 2 να απαντήσουν με κάποιον τρόπο ότι διαφέρουν κατά μια σταθερά, βλέποντας την μετατόπιση, χωρίς όμως να μπορούν να προσδιορίσουν ακόμη το νούμερο.

Στην ερ.3, η οποία είναι κομβικό σημείο στο Φ.Ε. είναι πιθανόν να χρειαστεί να οδηγήσουμε εμείς τους μαθητές στο να εμφανίσουν το  για κατάλληλο β (β = 0) και να υπολογίσουν την τιμή του από την τιμή του αντίστοιχου ολοκληρώματος

.Η ερώτηση 4 είναι το δεύτερο κομβικό σημείο του 2ου σταδίου και εδώ θα πρέπει να αναφέρουμε ότι Η G δεν μετακινείται με σύρσιμο, άρα οι μαθητές πρέπει να πληκτρολογήσουν στην εισαγωγή μια νέα συνάρτηση της μορφής

H(x) = G(x) + “τιμή του ολοκληρώματος που θα εμφανίσουν”

ή

H(x) = G(x)–G(α)

για να μπορέσουν να ταυτίσουν την F με την G.

Στη συνέχεια αυτού του ερωτήματος μπορεί να γίνει μια συζήτηση - υπενθύμιση για το ό,τι αν δύο συναρτήσεις είναι αρχικές της ίδιας συνάρτησης τότε θα διαφέρουν κατά μια σταθερά και να γίνει έτσι φανερό ότι  η συνάρτηση που δημιουργείται με τις παραπάνω διαδικασίες (πίνακας τιμών ή σχεδίαση ίχνους) είναι αρχική συνάρτηση της f.

Με την απάντηση στην ερ.5 οι μαθητές γνωρίζουν πλέον ότι η «συνάρτηση – ολοκλήρωμα» είναι αρχική της f και το 2ο στάδιο έχει ολοκληρωθεί

Οι υπόλοιπες ερωτήσεις αφορούν στο 3ο στάδιο και ουσιαστικά οι μαθητές θα εφαρμόσουν ένα θεώρημα χωρίς να το γνωρίζουν. Οι ερωτήσεις 6 και 7  οδηγούν τους μαθητές σε μια ακούσια χρήση του θεμελιώδους θεωρήματος του ολοκληρωτικού λογισμού με έναν τρόπο άμεσο, σχεδόν φυσιολογικό και η ερώτηση 8 τους καλεί να διατυπώσουν αυτό που χρησιμοποίησαν. Είναι σημαντικό και ο διδάσκων θα πρέπει να οδηγήσει προς αυτή την κατεύθυνση, να διατυπωθεί σαφώς ότι δημιουργούν μια αρχική συνάρτηση την οποία θα χρησιμοποιήσουν για των υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων.

Η συνάρτηση - ολοκλήρωμα (δημιουργία με πίνακα τιμών)

Διευκρίνιση: 
Σχετικό φύλλο εργασίας: 1

Η συνάρτηση - ολοκλήρωμα (δημιουργία με ίχνος σημείου)

Διευκρίνιση: 
Σχετικά φύλλα εργασίας: 2 και 3
Δημιουργός Σεναρίου: ΜΑΡΙΟΣ ΣΠΑΘΗΣ (Εκπαιδευτικός)
Έλεγχος Σεναρίου με τα Προγράμματα Σπουδών: ΚΕΙΣΟΓΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ (Σχολικός Σύμβουλος)
Έλεγχος Επιστημονικής Επάρκειας Σεναρίου: ΣΚΟΥΡΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ (Συντονιστής)