Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος και δημιουργία αρχικής συνάρτησης

Γενική περιγραφή περιεχομένου: 

Στο παρόν σενάριο επιχειρούμε να οδηγήσουμε τους μαθητές κατ’ αρχάς στην διατύπωση του ορισμού του εμβαδού ενός χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς θετικής συνάρτησης f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες με εξισώσεις x = α  και x = β  και στη συνέχεια στη διατύπωση του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης. Αυτό που κατ’ αρχάς μας ενδιαφέρει είναι να μπορούν να περιγράψουν οι μαθητές λεκτικά την όλη διαδικασία και δευτερευόντως συμβολικά. Αυτό το τελευταίο, εκτιμούμε ότι είναι προτιμότερο να γίνει από τον διδάσκοντα. Γίνεται προσπάθεια να φανεί η αναγκαιότητα της ύπαρξης του ενδιάμεσου αθροίσματος ως απαραίτητο συστατικό του ορισμού. Η παρέμβαση του καθηγητή σε αυτό το σημείο θα πρέπει να γίνει μόνο εφόσον οι μαθητές έχουν διαπιστώσει την αναγκαιότητα ύπαρξης ενός εναλλακτικού τρόπου υπολογισμού των εμβαδών των ορθογωνίων που “χτίζουν”. Το ανωτέρω εξηγείται αναλυτικότερα στην αντίστοιχη φάση περάτωσης του σεναρίου.

Οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος αποτελούν στο παρόν μια απλή αναφορά με κάποια έμφαση να δίνεται στο «σπάσιμο» του διαστήματος ολοκλήρωσης.

Το σενάριο ολοκληρώνεται με την άμεση σύνδεση του ορισμένου ολοκληρώματος με τη «συνάρτηση – ολοκλήρωμα». Οι μαθητές θα οδηγηθούν στο να ορίσουν τη «συνάρτηση – ολοκλήρωμα»,  η οποία δομείται βήμα – βήμα,  να διαπιστώσουν με τη βοήθεια του λογισμικού την ιδιότητά της ως αρχική της f, καθώς και να κάνουν εφαρμογές του θεμελιώδους θεωρήματος ολοκληρωτικού λογισμού.

Το παρόν σενάριο δεν στοχεύει σε αποδείξεις, αλλά κατά βάση σε νοηματοδότηση εννοιών μέσα από την κατασκευή τους από τους μαθητές. Αυτό βέβαια δεν αποτρέπει τον διδάσκοντα να προσθέσει κάποιες ερωτήσεις που να στοχεύουν σε αποδείξεις και τις οποίες κρίνει κατάλληλες. Αυτό που σίγουρα απαιτείται από τον διδάσκοντα είναι η ενεργός συμμετοχή του σχεδόν σε κάθε σημείο του σεναρίου, αφού ο σχεδιασμός του σεναρίου βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στις ερωτήσεις που θα θέτει αυτός (ο διδάσκων) υπό μορφή “σκαλωσιά” (scaffolding).

Η μέθοδος διδασκαλίας που προτείνουμε να ακολουθηθεί είναι καθοδηγούμενη ανακάλυψη με ομαδοσυνεργατική μάθηση και χρήση ΤΠΕ.

Προαπαιτούμενα

Γνωστικό επίπεδο

  • Τύπος εμβαδού ορθογωνίου
  • Οριακές διαδικασίες
  • Κριτήριο παρεμβολής
  • Πράξεις συναρτήσεων
  • Αρχική συνάρτηση

Τεχνικό επίπεδο (λογισμικό Geogebra)

  • Εμφάνιση – απόκρυψη στοιχείων του αρχείου
  • Κίνηση δρομέα
  • Πληκτρολόγηση συναρτήσεων
  • Δημιουργία σημείου με συγκεκριμένες συντεταγμένες
  • Εγγραφή σημείων στο λογιστικό φύλλο – ενεργοποίηση εγγραφής
  • Δημιουργία λίστας σημείων- πολυγωνικής γραμμής
  • Εμφάνιση ίχνους
Εκπαιδευτικό Πρόβλημα: 

Ο ορισμός του ολοκληρώματος εμφανίζεται σχεδόν ξεκομμένος από το υπόλοιπο κεφάλαιο και η “απομόνωση” αυτή σχεδόν επιβάλλεται από την πρακτική, αφού για να υπολογίσουν οι μαθητές ένα ορισμένο ολοκλήρωμα στη συνέχεια, θα κάνουν χρήση του θεμελιώδους θεωρήματος ολοκληρωτικού λογισμού. Εκτιμούμε όμως ότι περαιτέρω εμβάθυνση και κατανόηση του ορισμού θα βοηθήσει σημαντικά στην κατανόηση δημιουργίας μιας αρχικής συνάρτησης, όπως αυτή ορίζεται μέσα από τη διαδικασία των ολοκληρωμάτων

Επιπροσθέτως, η εισαγωγή που γίνεται αρχικά μέσα από γεωμετρική ερμηνεία έχει στη βάση της ένα σχήμα στατικό, όπου οι μαθητές καλούνται να φανταστούν τι θα συμβεί σε οριακές καταστάσεις. Οι διαμερίσεις λεπτότητας 0 και οι οριακές διαδικασίες που απαιτούνται σε αυτή την περίπτωση δεν είναι άμεσα νοηματοδοτούμενες από την πλειονότητα των μαθητών.

Γιαι το ενδιάμεσο άθροισμα δεν φαίνεται πουθενά η αναγκαιότητα της ύπαρξής του, μιας και η συνάρτηση που χρησιμοποιείται ως παράδειγμα στο σχολικό βιβλίο είναι μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο διάστημα ολοκλήρωσης, κατά συνέπεια το ελάχιστο και το μέγιστο σε κάθε διάστημα της ισοπλατούς διαμέρισης είναι φανερά. Έτσι λοιπόν σε τυχούσα απορία των μαθητών, “γιατί να χρησιμοποιήσουμε το ενδιάμεσο άθροισμα;”, οι απαντήσεις μας, επιστημονικά ορθές προφανώς, μάλλον δεν πείθουν την πλειονότητα αυτών.

Οι ιδιότητες δεν παίρνουν κάποιο ιδιαίτερο νόημα, παρουσιαζόμενες ως  συνέπειες του ορισμού, αν και θα μπορούσαν να συνδεθούν με γεωμετρική ερμηνεία, ώστε να αποκτήσουν επιπλέον νοηματοδότηση.

Τέλος η συνάρτηση – ολοκλήρωμα παρουσιάζεται χωρίς να δοθεί ευκαιρία στους μαθητές να την δημιουργήσουν, παρά μόνο να κάνουν μια αλγεβρική καθαρά χρήση της ιδιότητάς της.

Φάσεις Ψηφιακού Σεναρίου: 
60 λεπτά
Φάση 1: Το ορισμένο ολοκλήρωμα ως όριο αθροίσματος
Χώρος Διεξαγωγής: Σχολικό εργαστήριο (εναλλακτικά σχολική τάξη με βιντεοπροβολέα)
60 λεπτά
Φάση 2: Η συνάρτηση-ολοκλήρωμα
Χώρος Διεξαγωγής: Σχολικό εργαστήριο (εναλλακτικά σχολική τάξη με βιντεοπροβολέα)
15 λεπτά
Φάση 3: Έλεγχος κατανόησης – αυτοαξιολόγηση
Χώρος Διεξαγωγής: Σχολικό εργαστήριο (εναλλακτικά σχολική τάξη με βιντεοπροβολέα)
Διδακτικοί Στόχοι: 
  1. Οι μαθητές θα γνωρίζουν και θα διατυπώνουν λεκτικά τον ορισμό του εμβαδού και ορισμένου ολοκληρώματο
  2. Θα γνωρίζουν και θα χρησιμοποιούν τη γεωμετρική ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος
  3. Θα γνωρίζουν τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος
  4. Θα μπορούν να συνδέσουν το ορισμένο ολοκλήρωμα με την ύπαρξη μιας αρχικής συνάρτησης
  5. Θα εφαρμόζουν το Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού
Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: 
Μαθηματικά
Ανάλυση
Ορισμένο ολοκλήρωμα
Αρχική συνάρτηση
Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού
Υλικοτεχνική υποδομή: 
Εργαστήριο υπολογιστών Βιντεοπροβολέας Σύνδεση στο Internet Πίνακας για σημειώσεις Υπολογιστές σε δίκτυο (για αποθήκευση εργασιών και έλεγχο προόδου εργασιών)
Δημιουργός Σεναρίου: ΜΑΡΙΟΣ ΣΠΑΘΗΣ (Εκπαιδευτικός)
Έλεγχος Σεναρίου με τα Προγράμματα Σπουδών: ΚΕΙΣΟΓΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ (Σχολικός Σύμβουλος)
Έλεγχος Επιστημονικής Επάρκειας Σεναρίου: ΣΚΟΥΡΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ (Συντονιστής)