Μαθηματικά (ΔΕ) (Γυμνάσιο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Σε ποιο σχολείο θα πάω;

Γενική περιγραφή περιεχομένου: 

Προστιθέμενη αξία

Είναι γνωστό από τη βιβλιογραφία ότι η εκμάθηση των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων γίνεται συνήθως με στατικό τρόπο. Οι μαθητές απομνημονεύουν τις ιδιότητες και τις κατασκευές χωρίς να έχουν τη δυνατότητα να κατανοήσουν την αξία και λειτουργία τους σε πιο σύνθετα πλαίσια. Αυτή ακριβώς τη δυνατότητα παρέχει ένα λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας καθώς οι μαθητές μπορούν  να πειραματιστούν, να σχηματίσουν εικασίες και να τις ελέγξουν μέσα από τη χρήση των εργαλείων κατασκευής και μέτρησης που τους παρέχονται. Με την παρούσα δραστηριότητα οι μαθητές διευκολύνονται στην κατανόηση και εσωτερίκευση των ιδιοτήτων των σχημάτων που χρησιμοποιούνται καθώς και στην αποτελεσματική σύνδεση διαφορετικών μορφών αναπαραστάσεων.  

Πειραματισμός για τη μεταβολή της απόστασης από 2 (ή περισσότερα) σημεία. Οι μαθητές μελετούν τις αποστάσεις ενός σημείου από δυο άλλα σταθερά σημεία, προκειμένου να καταλάβουν τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται η σχετική απόσταση. Έτσι οδηγούνται με φυσικό τρόπο να διαπιστώσουν τον πρόσθετο ρόλο που παίζει η μεσοκάθετος (χωρίζοντας το επίπεδο σε δυο ημιεπίπεδα με διακριτό ρόλο). Η διδακτική αυτή προσέγγιση διαφέρει από τη συνήθη κατά την οποία οι ιδιότητες δίνονται με έναν τρόπο ad-hoc στον μαθητή χωρίς ιδιαίτερη σύνδεση με την άμεση εμπειρία του.

Νοηματοδότηση των ιδιοτήτων της μεσοκαθέτου και του κύκλου. Οι μαθητές εργαζόμενοι μέσα στα πλαίσια ενός συγκεκριμένου προβλήματος, νοηματοδοτούν εσωτερικά τα δεδομένα και τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούν. Παράλληλα επιτυγχάνεται η δημιουργία κινήτρων που αφορούν στην επίλυση μιας δεδομένης προβληματικής κατάστασης και η δημιουργία της ανάγκης κατανόησης προκειμένου να επιτευχθεί ένας προσωπικά αξιολογούμενος στόχος.

Ανάπτυξη συνεργατικών πρακτικών. Η αναγκαιότητα συνεργασίας και εργασίας σε ομάδες προκειμένου να απαντηθούν τα ερωτήματα, ο έλεγχος και αντιπαραβολή στοιχείων μέσα από τη συζήτηση και μαθηματική επιχειρηματολόγηση οδηγούν στην ανάπτυξη μιας συλλογικότητας η οποία υπερβαίνει το άθροισμα των μερών.

 

Γνωστικά και διδακτικά προβλήματα

Η έρευνα στη διδακτική των Μαθηματικών δείχνει ότι η διδασκαλία γεωμετρικών τόπων ή σχημάτων που χαρακτηρίζονται από συγκεκριμένες ιδιότητες (όπως η μεσοκάθετος, ο κύκλος κλπ), εμφανίζουν δυσκολίες στη διαπραγμάτευση τους καθώς κατά την εκμάθηση τους οι μαθητές μένουν σε ένα επιφανειακό-συμβολικό επίπεδο και δεν εμβαθύνουν στο νόημα και τη δυναμική των εννοιών. Έτσι, η γνώση που αποκτούν είναι διαδικασιακού τύπου, σε στατικά και αποστειρωμένα από τη καθημερινή ή και την μαθηματική εμπειρία πλαίσια, με αποτέλεσμα να μην μπορούν να δημιουργήσουν συσχετίσεις και διασυνδέσεις με άλλα μαθηματικά αντικείμενα και έννοιες. Η δυσκολία αυτή οδηγεί αλυσιδωτά (όπως έχουν δείξει αρκετές ερευνητικές μελέτες) στην δημιουργία πρόσθετων γνωστικών εμποδίων τα οποία ανατροφοδοτούν έναν κύκλο έλλειψης κατανόησης και αποτυχίας στα Μαθηματικά. Η αντιμετώπιση τέτοιων ζητημάτων μπορεί να γίνει με επιτυχία μέσα από τη δυναμική παρουσίαση των εννοιών η οποία στηρίζεται σε λογισμικά δυναμικής γεωμετρίας, δημιουργώντας τις κατάλληλες βάσεις για την εσωτερίκευση και νοηματοδότηση των υπό διαπραγμάτευση εννοιών.

Πλαίσιο εφαρμογής

Σε ποιους απευθύνεται

Το σενάριο απευθύνεται στους μαθητές της Α’ Γυμνασίου. Ωστόσο μπορεί να γίνει και στην Β’ Γυμνασίου στην εισαγωγική παράγραφο του κύκλου. Ανάλογα με την τάξη στην οποία πραγματοποιείται το σενάριο, προτείνεται να χρησιμοποιηθούν τα μέρη των δραστηριοτήτων που είναι περισσότερο κατάλληλα για τους συγκεκριμένους μαθητές.

 

Χρόνος υλοποίησης

Για την εφαρμογή του σεναρίου θα απαιτηθούν τουλάχιστον 2- 3 διδακτικές ώρες. Ωστόσο ο διδάσκων κατά την κρίση του μπορεί να επιλέξει τις δραστηριότητες που θεωρεί ότι προσφέρουν τη μεγαλύτερη διδακτική υπεραξία προσθέτοντας ή αφαιρώντας κάποιες από αυτές. Παράλληλα, λόγω της ευρύτητας των εννοιών που εμπλέκονται, υπάρχει δυνατότητα να επεκταθεί με κατάλληλες δραστηριότητες σε συνολικά 5-6 συνολικά διδακτικές ώρες.

 

Χώρος υλοποίησης

Προτείνεται οι μαθητές να χρησιμοποιήσουν το εργαστήριο Πληροφορικής όπου θα μπορέσουν να χρησιμοποιούν τους υπολογιστές εργαζόμενοι σε ομάδες προκειμένου να πειραματιστούν οι ίδιοι με χρήση του λογισμικού της δυναμικής Γεωμετρίας.

 

Προαπαιτούμενες γνώσεις

Ως προς τα Μαθηματικά είναι απαραίτητο οι μαθητές να γνωρίζουν την έννοια, την κατασκευή και τις ιδιότητες της μεσοκαθέτου, του κύκλου της απόστασης σημείων και μήκους ευθυγράμμων τμημάτων (όπως διατυπώνονται στο βιβλίο της Α Γυμνασίου).

Ως προς το χειρισμό λογισμικού οι μαθητές χρειάζεται να έχουν μια βασική εξοικείωση με τις βασικές εντολές και κατασκευές του προγράμματος δυναμικής Γεωμετρίας.

 

Απαιτούμενα βοηθητικά υλικά και εργαλεία

Οι μαθητές πρέπει να έχουν στη διάθεση τους

• φύλλο εργασίας όπου θα βρίσκονται διατυπωμένα τα δεδομένα του προβλήματος καθώς και τα βασικά ερωτήματα καθοδήγησης από το διδάσκοντα και όπου θα  σημειώνουν τις απαντήσεις τους,

• το σχολικό βιβλίο το οποίο μπορούν να συμβουλεύονται για διευκρινήσεις και

• τετράδιο σημειώσεων στο οποίο θα μπορούν να κρατούν σημειώσεις, να το χρησιμοποιούν ως πρόχειρο διατυπώνοντας και ελέγχοντας εικασίες, κάνοντας πράξεις, σχέδια κλπ.

 

Κοινωνική ενορχήστρωση της τάξης

Οι μαθητές καλούνται να συμμετάσχουν σε μια διερευνητική διαδικασία με συμμετοχή ολόκληρης της τάξης η οποία καθοδηγείται από τον εκπαιδευτικό και φύλλο εργασίας. Στο πλαίσιο αυτής της διερεύνησης οι μαθητές έχουν να εξερευνήσουν συγκεκριμένα σχήματα στον αλληλεπιδραστικό πίνακα είτε στον υπολογιστή της τάξης, να διατυπώσουν συγκεκριμένες εικασίες ή υποθέσεις και να τις ελέγξουν είτε στο χαρτί τους είτε στον αλληλεπιδραστικό πίνακα είτε σε συνδυασμό και των δυο. Για να υπάρχει κοινός στόχος, οι μαθητές πρέπει να εργαστούν σε κοινό φύλλο εργασίας, ο εκπαιδευτικός να κάνει συγκεκριμένες παρεμβάσεις και να δίνει συγκεκριμένες οδηγίες. Παράλληλα είναι σκόπιμη η χρήση βιντεοπροβολέα ή διαδραστικού πίνακα προκειμένου να μπορούν να δίνονται διευκρινήσεις συνολικά σε ζητήματα χειρισμού του λογισμικού ή όπου αλλού χρειαστεί.

Στόχοι

 Ως προς το γνωστικό αντικείμενο

Οι μαθητές να ανακαλύψουν:

  • ότι η μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ χωρίζει το επίπεδο σε τρία χωρία ανάλογα με τη σχέση των ΜΑ, ΜΒ μεταξύ τους
  • πώς μπορεί να κατασκευαστεί κύκλος από τρία μη συνευθειακά σημεία
  • ότι οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός τριγώνου συντρέχουν

 

Ως προς τη χρήση Νέων Τεχνολογιών

  • να αξιοποιήσουν το λογισμικό The Geometer’s Sketchpad, μέσω των αρχείων που συνοδεύουν το σχέδιο εργασίας
  • να σχεδιάζουν γεωμετρικά σχήματα χρησιμοποιώντας εργαλεία όπως συμμετρικό, παράλληλη, κάθετη, να μετρούν αποστάσεις και να πινακοποιούν τα δεδομένα τους, να μεταβάλουν με δυναμικό τρόπο στοιχεία ενός σχήματος προκειμένου να σχηματίσουν – ελέγξουν εικασίες
  • να μπορούν να αντλούν και να επεξεργάζονται πληροφορίες αξιοποιώντας τα εργαλεία του προγράμματος

 

Ως προς τη μαθησιακή διαδικασία:

Οι μαθητές να μάθουν

  • να κάνουν συλλογισμούς στηρίζοντας τα συμπεράσματα τους
  • να ακούν τα επιχειρήματα των συμμαθητών τους ελέγχοντας τα και κάνοντας εποικοδομητική κριτική
  • να οικοδομούν κώδικες επικοινωνίας ώστε να συνδιαλέγονται με τρόπο εύληπτο και κατανοητό
  • να συνεργάζονται με τους συμμαθητές τους στην ίδια ομάδα με σκοπό τη σύνθεση μιας συνολικής πρότασης.

 

Εκπαιδευτικό Πρόβλημα: 

Γνωστική περιοχή

Μαθηματικά Α Γυμνασίου (Γεωμετρία: μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος και κύκλος).

 

Θέμα

Η διερεύνηση των βασικών ιδιοτήτων και της κατασκευής μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος και του κύκλου από τους μαθητές με τη χρήση εργαλείων συμβολικής έκφρασης και δυναμικού χειρισμού γεωμετρικών αντικειμένων.

 

Τεχνολογικά εργαλεία

Ως λογισμικό προτείνεται να χρησιμοποιηθεί το εκπαιδευτικό λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας Geogebra και οι δραστηριότητες να διεξαχθούν στο εργαστήριο Πληροφορικής.Οι μαθητές μέσα από ένα ρεαλιστικό πρόβλημα  (γνωστό και ως χωροταξική κατανομή των σχολείων στους δήμους), καλούνται να γνωρίσουν και να ανακαλύψουν ιδιότητες της μεσοκαθέτου και του περικέντρου τριγώνου.

Σύμφωνα με το σενάριο αυτό οι μαθητές θα εμπλακούν σε διαδικασίες κατασκευής της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος καθώς και κύκλου. Οι κατασκευές θα γίνουν σε ένα περιβάλλον πραγματικού προβλήματος όπου η χρησιμοποίηση των χαρακτηριστικών ιδιοτήτων των σχημάτων θα γίνει μέσω ανακαλυπτικής – διερευνητικής διαδικασίας. Έτσι οι μαθητές θα οδηγηθούν σε επιπλέον χαρακτηριστικά (όπως η διαπίστωση του κοινού σημείου τομής των μεσοκαθέτων των πλευρών τριγώνου-περίκεντρο και η διαμέριση του επιπέδου σε τρία μέρη με βάση τη διαφορά των αποστάσεων ενός σημείου από δυο σταθερά σημεία).

 

Φάσεις Ψηφιακού Σεναρίου: 
90 λεπτά
Φάση 1: Το πρόβλημα με 2 σχολεία
Χώρος Διεξαγωγής: Αίθουσα Η/Υ
45 λεπτά
Φάση 2: Το πρόβλημα με 3 σχολεία συνευθειακά
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο Πληροφορικής
λεπτά
Φάση 3: Το πρόβλημα με 3 σχολεία μη-συνευθειακά
Χώρος Διεξαγωγής:
45 λεπτά
Φάση 4: Το πρόβλημα με 4 σχολεία (ειδικές περιπτώσεις)
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο Πληροφορικής
45 λεπτά
Φάση 5: Διερεύνηση με Geogebra στη γενική περίπτωση
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο Πληροφορικής
Διδακτικοί Στόχοι: 
  1. Κατανόηση των ιδιοτήτων και της κατασκευής μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος, περικέντρου κύκλου
  2. Επίλυση απλών περιπώσεων διαγραμμάτων Voronoi (2 ή 3 σημεία ή 4 σημεία σε ειδικές περιπτώσεις)
  3. Χρήση ανακαληπτικών και ευρετιών μεθόδων ως στρατηγικών επίλυσης
  4. Χρήση των υπολογιστικών εργαλείων λογισμικού για σχηματισμό και έλεγχο εικασιών
Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: 
Μεσοκάθετος
κύκλος
παραλληλόγραμμο
Υλικοτεχνική υποδομή: 
Εργαστήριο Πληροφορικής με βιντεοπροβολέα
Δημιουργός Σεναρίου: ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΜΕΤΑΞΑΣ (Εκπαιδευτικός)