Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Θεώρημα Bolzano

Γενική περιγραφή περιεχομένου: 

Σκοπός του σεναρίου είναι οι μαθητές να διατυπώνουν το Θ. Bolzano και να το χρησιμοποιούν στην εύρεση λύσεων μιας εξίσωσης.

Το σενάριο στοχεύει οι μαθητές να αντιλαμβάνονται ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ. Bolzano όταν μια γραφική παράσταση συνάρτησης τέμνει τον άξονα x'x τουλάχιστον σε ένα σημείο.Επιπλέον στόχος με τη χρήση φύλλων εργασίας είναι οι μαθητές να μπορούν να εφαρμόζουν το  θεώρημα στα κατάλληλα διαστήματα.

Μας ενδιαφέρει οι μαθητές να είναι σε θέση να ανταποκριθούν στην περίπτωση που ζητείται η εξίσωση να έχει τουλάχιστον δύο,τρείς λύσεις κ.λ.

Οι μαθητές επίσης καλούνται να διερευνήσουν την περίπτωση στην οποία η συνάρτηση είναι κλασματικής μορφής.(π.χ. η συνάρτηση έχει παρονομαστή (x-α)(x-β) και πρέπει να αποδείξουν ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον μια λύση στο (α,β) )

Με το παρόν σενάριο οι μαθητές μέσω αντιπαραδειγμάτων να διακρίνουν περιπτώσεις όπου δεν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος αλλά υπάρχουν τιμές που μηδενίζουν την συνάρτηση. 

Η παρουσιάση του Θεωρήματος Bolzano στους μαθητές/τριες της Γ¨Λυκείου,γίνεται με τη χρήση λογισμικού τύπου CAS. 

Η μέθοδος διδασκαλίας που ακολουθείται είναι καθοδηγούμενη ανακάλυψη με ομαδοσυνεργατική μάθηση και χρήση ΤΠΕ.Με το λογισμικό Fuction Probe οι μαθητές έχουν μια γεωμετρική εποπτεία της συνάρτησης η οποία μερικές φορές έρχεται σε αντίθεση με τις προϋποθέσεις του θεωρήματος.Έτσι ανατροφοδοτείται ο διάλογος μεταξύ των μαθητών και του διδάσκοντα.

Απαιτείται από το διδάσκοντα ενεργός συμμετοχή σε διάφορα σημεία του σεναρίου,αφού ο σχεδιασμός του σεναρίου βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στις ερωτήσεις που θα κάνει υπό μορφή "σκαλωσιά".

Προαπαιτούμενα

Γνωστικό επίπεδο

  • Υπολογισμός ορίου
  • Ορισμός συνέχειας
  • Υπολογισμός της τιμής της f σε συγκεκριμένη τιμή
  • Θεώρημα Bolzano
  • Πράξεις συναρτήσεων
  • Γραφική παράσταση συνάρτησης

Τεχνικό επίπεδο​

  • Λογισμικό Fuction Probe

 

Εκπαιδευτικό Πρόβλημα: 

Η γεωμετρική προσέγγιση του θεωρήματος Bolzano θεωρείται σημαντική,ώστε να αναπτύξουν οι μαθητές μία επιπλέον αναπαράσταση σε σχέση με την συμβολική-μαθηματική γλώσσα και σε αυτό βοηθάει το λογισμικό Function Probe.

Επίσης,είναι σημαντικό να μπορούν οι μαθητές να εφαρμόζουν το θεώρημα επεξηγώντας τους λόγους εφαρμογής στην περίπτωση που ζητείται η ύπαρξη δύο ή περισσότερων ριζών μιας εξίσωσης f(x)=0 σε ένα διάστημα (α,β).Επιπλέον,αποτελεί κρίσιμο ζήτημα η αξιοποίηση του θεωρήματος στην περίπτωση που ζητείται η ύπαρξη ρίζας μιας εξίσωσης f(x)=0 σε διάστημα [α,β) ή (α,β] ή [α,β].

 Οι μαθητές συνήθως δεν ερμηνεύουν σωστά την αναγκαιότητα των προϋποθέσεων του Θεωρήματος Bolzano ότι δηλαδή αν δεν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος,τότε δεν μπορεί να υπάρχουν σημεία που μηδενίζουν την f (π.χ. όταν οι τιμές των άκρων είναι ομόσημες ή όταν η συνάρτηση δεν είναι συνεχής).Επιπρόσθετα το σχολικό βιβλίο δεν συμβάλλει με κάποιο παράδειγμα-αντιπαράδειγμα στη σωστή ερμηνεία των προϋποθέσεων του θεωρήματος.

Οι μαθητές στο Γυμνάσιο έρχονται σε επαφή με την έννοια της ισοδύναμης εξίσωσης.Μια από τις περιπτώσεις είναι να αποδειχθεί ότι μια κλασματική εξίσωση έχει τουλάχιστον μια λύση σε διάστημα όπου τα άκρα του διαστήματος είναι τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή του κλάσματος.Στην περίπτωση αυτή χρειάζεται οι μαθητές να ανακαλέσουν την έννοια της ισοδύναμης εξίσωσης για να αποδείξουν ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια λύση.

Η ύπαρξη λύσης σε μια εξίσωση αποτελεί ερώτημα καθ΄ όλη την ύλη των Μαθηματικών Προσανατολισμού της Γ Λύκειου.Έτσι οι μαθητές καλούνται να ελέγξουν αν μία εξίσωση έχει τουλάχιστον μια λύση και στις περιπτώσεις όπου στην εξίσωση εμφανίζεται ή η παράγωγος συνάρτησης ή ολοκλήρωμα συνάρτησης.

 

Φάσεις Ψηφιακού Σεναρίου: 
45 λεπτά
Φάση 1: Θεώρημα Bolzano και εύρεση λύσεων
Χώρος Διεξαγωγής: Σχολικό εργαστήριο πληροφορικής & εφαρμογών Η/Υ (ΣΕΠΕΗΥ)
45 λεπτά
Φάση 2: Οι υποθέσεις του θεωρήματος δεν είναι αναγκαίες
Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο πληροφορικής
45 λεπτά
Φάση 3: Έλεγχος κατανόησης-αυτοαξιολόγηση
Χώρος Διεξαγωγής: εργαστήριο πληροφορικής
Διδακτικοί Στόχοι: 
  1. Να αναγνωρίζουν την ανάγκη χρήσης του θεωρήματος Bolzano.
  2. Να χρησιμοποιούν το θεώρημα Bolzano.
  3. Να συμπληρώνουν με γεωμετρική εποπτεία την προσέγγιση ριζών, όπου αυτό είναι εφικτό.
  4. Να χρησιμοποιούν λογισμικό για να προσδιορίζουν αν υπάρχει ρίζα της εξίσωσης.
Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: 
Θεώρημα Bolzano
εύρεση λύση εξίσωσης
Υλικοτεχνική υποδομή: 
προβολικό μηχάνημα, Η/Υ, εργαστήριο πληροφορικής, φύλλα εργασίας
Δημιουργός Σεναρίου: ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΑΡΑΦΗΣ (Εκπαιδευτικός)