Μαθηματικά (ΔΕ) (Γυμνάσιο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 1 ώρα

Πυθαγόρειο θεώρημα

Γενική περιγραφή περιεχομένου: 

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα μας δίνει τη δυνατότητα να αναγνωρίσουμε τη στενή συσχέτιση της Άλγεβρας με τη Γεωμετρία και να περιγράφουμε τη σημασία των διαφορετικών αναπαραστάσεων μιας μαθηματικής έννοιας (είτε γεωμετρικά, είτε με τη βοήθεια συγκεκριμένης αλγεβρικής σχέσης).

Η αλεγβρική σχέση που περιγράφει το Πυθαγόρειο Θεώρημα, είναι μία από τις πιο σημαντικές μαθηματικές εξισώσεις που αξιοποιείται στο χώρο των κατασκευών (κτιρίων, επίπλων, τοποθέτηση πλακιδίων, τζαμιών, πορτών κ.α.). Με τη χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος οι αρχιτέκτονες σχεδιάζουν τα θεμέλια, υπολογίζουν με απόλυτη ακρίβεια τις γωνίες και έχουν σχέδια που χαρακτηρίζονται από πιστότητα. Επίσης, ξυλουργοί το χρησιμοποιούν για να έχει η κατασκευή τους ορθές γωνίες. Τέλος, αξιοποιείται από ορειβάτες και αστρονόμους για τις μετρήσεις τους.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί μία γεωμετρική «ανακάλυψη», μέσω της οποίας δίνεται η ευκαιρία να επεξηγούμε και να διατυπώνουμε το σχετικό θεώρημα. Στη συνέχεια καλούμαστε να μετατρέψουμε τη σχέση των εμβαδών σε αλγεβρική σχέση μεταξύ των πλευρών. Επιπλέον, η ιστορική διάσταση του Πυθαγορείου θεωρήματος αποτελεί ένα ενδιαφέρον ζήτημα του οποίου επιχειρείται η προσέγγιση στο πλαίσιο του σεναρίου.

Στο σενάριο αξιοποιείται ένα πραγματικό πρόβλημα το οποίο καλούμαστε να λύσουμε μέσα από ποικίλες δραστηριότητες που αφορούν το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Το σενάριο απευθύνεται σε μαθητές Β΄ Γυμνασίου και στοχεύει σε μία εναλλακτική διδακτική προσέγγιση του θεωρήματος, με σκοπό να αναπτύξουμε ποικίλες αναπαραστάσεις κατά την εμπλοκή μας με τις δραστηριότητες. Καλούμαστε να προσεγγίσουμε τόσο γεωμετρικά, όσο και αλγεβρικά το θεώρημα. Παράλληλα, το σενάριο αποσκοπεί στην υπέρβαση των διδακτικών εμποδίων και παρανοήσεων που παρατηρούνται κατά την αξιοποίηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

Από πρηγούμενες ενότητες έχουμε γνωρίσει τον τρόπο υπολογισμού του εμβαδού τετραγώνου και τριγώνου και είμαστε σε θέση να διακρίνουμε και να εξηγούμε το ορθογώνιο τρίγωνο. Επιπλέον έχουμε εργαστεί με το λογισμικό GeoGebra (χρήση λογισμικού και δυνατότητα κατασκευής γεωμετρικών σχημάτων). Έτσι, με τις δραστηριότητες επιδιώκεται η περιγραφή του Πυθαγορείου Θεωρήματος και του αντίστρόφου του και η εφαρμογή του σε ορθογώνια τρίγωνα. Η περιγραφή θα προκύψει μέσα από την διερεύνηση των δραστηριοτήτων με τη βοήθεια λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας.

Στο πλαίσιο του σεναρίου θα εργαστούμε σε ομάδες των δύο ατόμων (ζεύγη) στο σχολικό εργαστήριο πληροφορικής και εφαρμογών ηλεκτρονικών υπολογιστών. Οι ρόλοι μας εξαρτώνται από τις δραστηριότητες που θα διερευνήσουμε με κυριότερο ρόλο για τους μαθητές αυτόν του ερευνητή. Ο εκπαιδευτικός μπορεί να έχει το ρόλο του παρατηρητή κατά τη διάρκεια της διερεύνησης, ενώ μπορεί να παρεμβαίνει με αναστοχαστικά και παρωθητικά σχόλια, καθώς και να συνεισφέρει ως συνερευνητής κατά την εργασία με τις δραστηριότητες. Η επικοινωνία μεταξύ των ομάδων θα παίξει σημαντικό ρόλο στη διάρκεια και κατά την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων. Η επικοινωνία αυτή μπορεί να πραγματοποιείται με τον συντονισμό του εκπαιδευτικού. Ο εκπαιδευτικός, κατά τη διάρκεια υλοποίησης του σεναρίου είναι σημαντικό να ελέγχει τα συμπεράσματα που προκύπτουν, να διευκολύνει την επιχειρηματολογία και να προκαλεί συζητήσεις στο πλαίσιο της τάξης όταν θεωρεί ότι κάποια συμπεράσματα είναι χρήσιμα για τη συνέχεια.

Στην περίπτωση που υπάρχει διαθέσιμος διαδραστικός πίνακας, όλοι μπορούν να εργαστούν ως μία κοινότητα που σχολιάζει, προτείνει και εφαρμόζει. Η ύπαρξη και η χρήση του διαδραστικού πίνακα μπορεί να συνεισφέρει σε διαφορετικές φάσεις της εφαρμογής των δραστηριοτήτων του σεναρίου.

Εκπαιδευτικό Πρόβλημα: 

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να αναγνωρίσουν τη στενή συσχέτιση της Άλγεβρας με τη Γεωμετρία και να περιγράφουν τη σημασία των διαφορετικών αναπαραστάσεων μιας μαθηματικής έννοιας (είτε γεωμετρικά, είτε με τη βοήθεια συγκεκριμένης αλγεβρικής σχέσης).

Σύμφωνα με την υπάρχουσα βιβλιογραφία, παρατηρείται μία πιθανή αντιφατική περιγραφή που συνήθως δίνουν οι μαθητές για το Πυθαγόρειο Θεώρημα, σε σύγκριση με αυτό που γράφουν ως αλγεβρική σχέση. Επιπρόσθετα, επιδιώκεται ως μαθησιακό αποτέλεσμα οι μαθητές να διακρίνουν την υποτείνουσα και να μην την συγχέουν με κάποια κάθετη πλευρά, όταν η ορθή γωνία παρουσιάζεται από άλλη οπτική. Επίσης, είναι σημαντικό οι μαθητές να εφαρμόζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα μόνο σε ορθογώνια τρίγωνα. 

Η σύνδεση των γεωμετρικών εννοιών με πραγματικές καταστάσεις μπορεί να συνεισφέρει ώστε να εμπλακούν σε μεγαλύτερο βαθμό οι μαθητές με τα διαπραγματευόμενα ζητήματα. Ειδικά, μάλιστα όταν αυτές οι καταστάσεις μπορούν να προέρχονται από τον δικό τους κόσμο ή από το περιβάλλον στο οποίο ζουν, είναι βέβαιο ότι μπορεί να βελτιώσει τη λειτουργία της σχολικής τάξης και να προσφέρει πολλαπλά μαθησιακά και κοινωνικά οφέλη. Παρότι, η εμπλοκή των μαθητών με τις δραστηριότητες θα μπορούσε να υλοποιηθεί και με συμβατικά μέσα, η χρήση εργαλείων δυναμικής γεωμετρίας παρέχει σημαντικά περισσότερες ευκαιρίες διερεύνησης και πειραματισμού των μαθητών, αφού μπορούν να τροποποιούν και να μελετούν τα σχήματα πολλές φορές, μπορούν να επανέλθουν σε μία πρότερη περίπτωση διερεύνησης, μπορούν να επιχειρούν συνδυασμούς δράσεων, κάτι που είναι χρονοβόρο και περιορισμένο στο πλαίσιο αποκλειστικής χρήσης του τετραδίου και του πίνακα. Τέλος, με τα μικροπειράματα παρέχεται η ευκαιρία να επιδείξουν οι μαθητές τις ιδέες τους.

Συνολικά, το σενάριο στοχεύει σε μία εναλλακτική διδακτική προσέγγιση του Πυθαγορείου Θεωρήματος και του αντιστρόφου του με σκοπό να αναπτύξουν οι μαθητές ποικίλες αναπαραστάσεις κατά την εμπλοκή τους με τις δραστηριότητες που προσεγγίζουν το θεώρημα, ενώ παράλληλα αποσκοπεί στην υπέρβαση των διδακτικών εμποδίων και παρανοήσεων που παρουσιάζουν οι μαθητές κατά την αξιοποίηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

Φάσεις Ψηφιακού Σεναρίου: 
15 λεπτά
Φάση 1: Διερεύνηση Πυθαγορείου Θεωρήματος
Χώρος Διεξαγωγής: Σχολικό Εργαστήριο Πληροφορικής & Εφαρμογών Η/Υ (ΣΕΠΕΗΥ)
15 λεπτά
Φάση 2: Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος
Χώρος Διεξαγωγής: Σχολικό Εργαστήριο Πληροφορικής & Εφαρμογών Η/Υ (ΣΕΠΕΗΥ)
10 λεπτά
Φάση 3: Χρήση Πυθαγορείου Θεωρήματος
Χώρος Διεξαγωγής: Σχολικό Εργαστήριο Πληροφορικής & Εφαρμογών Η/Υ (ΣΕΠΕΗΥ)
Διδακτικοί Στόχοι: 
  1. Να διατυπώνουν το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό του.
  2. Να υπολογίζουν σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο την τρίτη πλευρά, δοθέντων των άλλων δύο.
  3. Να εξετάζουν αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο βάσει των πλευρών του.
Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: 
Πυθαγόρειο Θεώρημα
Εμβαδά
Υλικοτεχνική υποδομή: 
Σχολικό Εργαστήριο Πληροφορικής & Εφαρμογών Η/Υ (ΣΕΠΕΗΥ), Λογισμικό GeoGebra
Δημιουργός Σεναρίου: ΣΠΥΡΙΔΩΝ ΔΟΥΚΑΚΗΣ (Εκπαιδευτικός)
Έλεγχος Σεναρίου με τα Προγράμματα Σπουδών: ΚΕΙΣΟΓΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ (Σχολικός Σύμβουλος)
Έλεγχος Επιστημονικής Επάρκειας Σεναρίου: ΣΚΟΥΡΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ (Συντονιστής)