Εφαρμογές παραγώγων

Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)

Εφαρμογές παραγώγων

3 ώρες

Γενική περιγραφή περιεχομένου

Οι μαθητές μέσω της δραστηριότητας του λογισμικού, ανακαλύπτουν τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στη μονοτονία και το πρόσημο της f'. Η αλγεβρική χρήση χωρίς περαιτέρω αναπαραστάσεις και πειραματισμό πάνω σε διαφορετικές συναρτήσεις, οδηγεί στην αποστήθιση. Ο χαρακτηρισμός ενός τ.α. οδηγεί το μαθητή σε εμβάθυνση των σχέσεων που διέπουν αυτό με τις ρίζες της f' ή τα σημεία ασυνέχειάς της. Ανάλογοι συλλογισμοί και για τη κυρτότητα.

Εκπαιδευτικό Πρόβλημα

Να μπορούν οι μαθητές να κάνουν την διασύνδεση εννοιών της ανάλυσης, μονοτονία, τ.α., κυρτότητα, σ.κ. που εμφανίζονται γραφικά, για τις f, f', f''.

Ειδικότερα να μπορούν να προσδιορίζουν τα διαστήματα μονοτονίας, τοπικών ακροτάτων, κυρτότητας, σημείων καμπής, μέσω γραφικών παραστάσεων και να μπορούν να τα διασυνδέουν με το πρόσημο και τις ρίζες των f', f''. Η ταυτόχρονη γραφική παράσταση συνάρτησης και παραγώγου και μέσω του πειραματισμού που παρέχει το λογισμικό, ενισχύει τη στάση των μαθητών και αναδυκνύει μια σε βάθος διασύνδεση των δύσκολων έτσι κι αλλιώς, παραπάνω εννοιών της ανάλυσης.

at 50/100 Μέτριας δυσκολίας

Εκπαιδευτική Βαθμίδα που απευθύνεται το σενάριο

Γενικό Λύκειο

Θεματική Ταξινομία

Μαθηματικά (ΔΕ) > Ανάλυση > Παράγωγος - εφαρμογές >

Τύπος Διαδραστικότητας

Ενεργός μάθηση

Επίπεδο Διαδραστικότητας

υψηλό

Προτεινόμενη ηλικιακή ομάδα:

-6

6-9

9-12

12-15

15-18

18-25

25+

Φάσεις Ψηφιακού Σεναρίου:

Μονοτονίας τ.α. (διασύνδεση f, f')

45λεπτά

Χώρος Υλοποίησης

Εργαστήριο πληροφορικής ή διαδραστικός ή βιντεοπροβολέας με ασύρματα ποντίκια

Kυρτότητας/σ.κ. (διασύνδεση f, f', f'')

40λεπτά

Χώρος Υλοποίησης

Εργαστήριο ΗΥ

Εφαρμογές-Αξιολόγηση-Εννοιολογική Χαρτογραφηση

40λεπτά

Χώρος Υλοποίησης

Εργαστήριο Η/Υ

Διδακτικοί Στόχοι

Να μπορούν να δουν τη σχέση μονοτονίας μιας συνάρτησης και του προσήμου της f '.

Να μπορούν να προσδιορίζουν τη σχέση που έχουν τα τ.α. με τις ρίζες ή τα σημεία ασυνέχειας της f'.

Να μπορούν να δουν τη σχέση κυρτότητας μιας συνάρτησης και του προσήμου της f''.

Να μπορούν να δουν τη σχέση σημείων καμπής και ριζών f''.

Να μπορούν να βλέπουν το ρόλο της εφαπτομένης ευθείας στα τ.α. και στα σ.κ.

Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου

Εφαρμογές παραγώγων,

Υλικοτεχνική υποδομή

Εργαστήριο Η/Υ, ή διαδραστικός (βιντεοπροβολέας) με ασύρματο (-α) ποντίκι (-α). Εγκατάσταση λογισμικού Geogebra, Ms-word, φύλλα εργασίας

Πνευματικά δικαιώματα ή άλλοι αντίστοιχοι περιορισμοί

geogebra, Ms-word

Δημιουργός Σεναρίου: ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΘΩΜΑ (Εκπαιδευτικός)

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΙΚΟ (τι είναι;)

Αesop - 12367

Το σενάριο «Εφαρμογές παραγώγων» έχει χαρακτηριστεί ως Επαρκές (βαθμολογία 50 μονάδων μέχρι 69.5) ύστερα από αξιολόγηση που πραγματοποιήθηκε από δύο αξιολογητές βάσει κριτηρίων που ορίστηκαν από το ΔΣ του ΙΕΠ.

Εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης

Το συγκεκριμένο σενάριο περιλαμβάνει την εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης σε μαθητές γυμνασίου, μέσα από την επίλυση ενός γεωμετρικού προβλήματος -το οποίο δεν αντιμετωπίζεται με τις γνώσεις των μαθητών της συγκεκριμένης ηλικίας- και την χρήση περιβαλλόντων δυναμικής γεωμετρίας. Το συγκεκριμμένο πρόβλημα αναφέρεται σε ορθογώνια σταθερών περιμέτρων και στην εύρεση εκείνου του ορθογωνίου με το μέγιστο εμβαδό. Η διδασκαλία της συγκεκριμένης έννοιας στη Β γυμνασίου περιορίζεται στη συσχέτιση δυο μεταβλητών, στην κατασκευή του πίνακα τιμών και της γραφικής παράστασης, και στην ερμηνεία της γραφικής παράστασης. Αυτά τα θέματα αποτελούν και κεντρικά σημεία διαπραγμάτευσης του συγκεκριμμένου σεναρίου.

Οι μαθητές, χωρισμένοι σε ομάδες των δυο ατόμων (σε περίπτωση αδυναμίας χρήσης της αίθουσας υπολογιστών, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σχολική τάξη με έναν βιντεοπροβολέα), πειραματίζονται με κατάλληλες δραστηριότητες σχεδιασμένες στο περιβάλλον του sketchpad με στόχο να επιλύσουν το πρόβλημα. Μέσα από τη διερεύνηση και τη συζήτηση οι μαθητές θα εισαχθούν στις καινούριες έννοιες.

Το συγκεκριμένο περιβάλλον τους δίνει τη δυνατότητα, μέσα από προσεκτικά σχεδιασμένα προβλήματα και δραστηριότητες, να κάνουν υποθέσεις και εικασίες, να τις ελέγχουν, να παρατηρούν ένα μοντέλο και να ασχοληθούν με δυναμικές έννοιες, όπως αυτή της συμμεταβολής δυο μεγεθών, και τη δυναμική διασύνδεση των πολλαπλών αναπαραστάσεων της ίδιας έννοιας. Η συγκεκριμμένη θεωρία μάθησης που υιοθετείται είναι αυτή της κατασκευής της γνώσης, η οποία ισχυρίζεται ότι η διαδικασία μάθησης στα Μαθηματικά είναι μια κατασκευαστική δραστηριότητα όπου ο μαθητής συμμετέχει ενεργά στην κατασκευή της γνώσης.