Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Η έννοια της παραγώγου συνάρτησης

Γενική περιγραφή περιεχομένου: 

Οι μαθητές μέσω κατάλληλων δραστηριοτήτων διερευνητικής μάθησης αρχικά μελετούν την έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας ως οριακή τιμή της μέσης ταχύτητας. Στη συνέχεια εισάγονται στον ορισμό της παραγώγου και υπολογίζουν τιμές της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο προσεγγιστικά και αλγεβρικά. Μελετούν τη γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου, ως συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) της εφαπτόμενης ευθείας και μελετούν επίσης την εφαπτόμενη ευθεία σε σημείο της γραφικής παράστασης μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης ως οριακή θέση της τέμνουσας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

 

Εκπαιδευτικό Πρόβλημα: 

Η έννοια της παραγώγου είναι μία πολύ σημαντική έννοια για τα Μαθηματικά, όπως επίσης για τις υπόλοιπες Θετικές Επιστήμες και τις Οικονομικές Επιστήμες, εφόσον εισάγει τους μαθητές στην έννοια του ρυθμού μεταβολής ενός μεγέθους. Οι μαθητές συναντούν δυσκολίες στο να κατανοήσουν τόσο τη γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου συνάρτησης σε σημείο (συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο), όσο και πότε η τιμή της παραγώγου παίρνει θετικές, αρνητικές και μηδενικές τιμές. Στη Φυσική οι μαθητές δυσκολεύονται να κατανοήσουν την έννοια της στιγμιαίας ταχύτητας, η οποία είναι ουσιαστικά η οριακή τιμή της μέσης ταχύτητας και προκύπτει ως ο ρυθμός μεταβολής (παράγωγος) της θέσης ενός σώματος ως προς το χρόνο.

Το παρόν σενάριο ασχολείται με τη μελέτη της έννοιας της παραγώγου, δίνοντας έμφαση σε θέματα γεωμετρικής ερμηνείας της παραγώγου συνάρτησης, αλγεβρικής ερμηνείας δηλαδή ερμηνείας του προσήμου και των τιμών της παραγώγου, επίσης στη διασύνδεση με τη Φυσική και στην ερμηνεία της στιγμιαίας ταχύτητας ως παραγώγου της συνάρτησης θέσης. Επίσης δίνεται έμφαση στην έννοια της εφαπτομένης σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης ως οριακής θέσης της τέμνουσας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και όχι ως ευθείας που τέμνει τη γραφική παράσταση σε ένα μόνο σημείο (αναπαράσταση από τα Μαθηματικά της Β΄ Λυκείου και τη Γεωμετρία της Α΄ Λυκείου).

Στο σενάριο χρησιμοποιούνται δραστηριότητες διερευνητικής μάθησης, στις οποίες οι μαθητές εμπλέκονται είτε ατομικά ή σε ομάδες των δύο ατόμων. Η διερευνητική μάθηση υποστηρίζεται από τις σύγχρονες απόψεις των κατασκευαστικών και των κοινωνικοπολιστιστικών θεωριών μάθησης, οι οποίες υποστηρίζουν ότι οι μαθητές ενδείκνυται να εμπλέκονται σε δραστηριότητες μέσω των οποίων κατασκευάζουν ενεργητικά τη γνώση, χρησιμοποιώντας τις προϋπάρχουσες γνώσεις τους και ότι η γνώση προκύπτει ως κοινωνική κατασκευή. Η διδακτική πράξη και οι σύγχρονες έρευνες στο χώρο της Διδακτικής Μαθηματικών έχουν δείξει ότι οι παραδοσιακές αφηγηματικές προσεγγίσεις διδασκαλίας που περιορίζονται στην παρουσίαση της αντίστοιχης θεωρίας, παραδειγμάτων και στην επίλυση ασκήσεων από το δάσκαλο και / ή από τους μαθητές, δεν βοηθάει τους μαθητές στο να κατασκευάσουν τις ερμηνείες της έννοιας της παραγώγου που περιγράφηκαν παραπάνω. Η χρήση και αξιοποίηση στο σενάριο κατάλληλα επιλεγμένων γνωστικών εργαλείων, ειδικότερα διερευνητικών εκπαιδευτικών λογισμικών (Geogebra και Excel) όπως και κατάλληλα επιλεγμένων διαδραστικών εργαλείων που παρέχονται από την πλατφόρμα, μπορεί να βοηθήσει στην καλύτερη οπτικοποίηση της έννοιας της παραγώγου, όπως επίσης να προάγει την ενεργητική συμμετοχή, την αυτενέργεια και τον πειραματισμό των μαθητών.

Φάσεις Ψηφιακού Σεναρίου: 
30 λεπτά
Φάση 1: Σύνδεση με την πραγματικότητα και άλλες Επιστήμες
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο υπολογιστών ή σχολική τάξη με τη χρήση φορητού υπολογιστή και βιντεοπροβολέα και χρήση φύλλων εργασίας.
30 λεπτά
Φάση 2: Δραστηριότητες: Ορισμός της παραγώγου
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο υπολογιστών ή σχολική τάξη με τη χρήση φορητού υπολογιστή και βιντεοπροβολέα και χρήση φύλλων εργασίας.
45 λεπτά
Φάση 3: Δραστηριότητες: Γεωμετρική ερμηνεία παραγώγου
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο υπολογιστών ή σχολική τάξη με τη χρήση φορητού υπολογιστή και βιντεοπροβολέα και χρήση φύλλων εργασίας.
30 λεπτά
Φάση 4: Ανακεφαλαίωση - Αξιολόγηση
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο υπολογιστών ή σχολική τάξη με τη χρήση φορητού υπολογιστή και βιντεοπροβολέα και χρήση φύλλων εργασίας.
Διδακτικοί Στόχοι: 
  1. Οι μαθητές να υπολογίζουν προσεγγιστικά και αλγεβρικά τιμές της παραγώγου συνάρτησης με τον ορισμό.
  2. Οι μαθητές να αναγνωρίζουν την παράγωγο συνάρτησης ως το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης.
  3. Οι μαθητές να αναγνωρίζουν το πρόσημο της παραγώγου από τη γραφική παράσταση συνάρτησης.
  4. Οι μαθητές να υπολογίζουν τη στιγμιαία ταχύτητα ως την παράγωγο της συνάρτησης θέσης.
Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: 
Παράγωγος συνάρτησης
Ορισμός παραγώγου
Γεωμετρική ερμηνεία παραγώγου
Εξίσωση εφαπτομένης
Υλικοτεχνική υποδομή: 
Εργαστήριο υπολογιστών ή φορητός υπολογιστής και βιντεοπροβολέας, φύλλα εργασίας. Λογισμικά Geogebra, Excel ή οποιοδήποτε υπολογιστικό φύλλο, Word ή οποιοσδήποτε επεξεργαστής κειμένου, Graphmatica, CMap Tools.
Δημιουργός Σεναρίου: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΟΡΡΕΣ (Εκπαιδευτικός)
Έλεγχος Σεναρίου με τα Προγράμματα Σπουδών: ΚΕΙΣΟΓΛΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ (Σχολικός Σύμβουλος)
Έλεγχος Επιστημονικής Επάρκειας Σεναρίου: ΣΚΟΥΡΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ (Συντονιστής)