Αξονική και κεντρική συμμετρία

Μαθηματικά (ΔΕ) (Γυμνάσιο)

Αξονική και κεντρική συμμετρία

3 ώρες

Γενική περιγραφή περιεχομένου

Στο σενάριο αυτό οι μαθητές θα εμπλακούν σε δραστηριότητες που θα τους βοηθήσουν να κατανοήσουν την έννοια της συμμετρίας ως προς κέντρο και ως προς άξονα. Το σενάριο είναι εισαγωγικό για τις αντίστοιχες παραγράφους του σχολικού βιβλίου. Στη συνέχεια ο διδάσκων θα κρίνει πόσο χρόνο επιπλέον θα αφιερώσει για ασκήσεις του σχολικού βιβλίου ή και άλλες δραστηριότητες .

Θα εφαρμοστεί ομαδοσυνεργατική μάθηση με ΤΠΕ. Οι μαθητές θα χωριστούν σε ομάδες, θα δουλεύουν με τα αρχεία λογισμικού και θα συμπληρώνουν τα φύλλα εργασίας. Έτσι ενισχύεται η συνεργασία μεταξύ των μελών κάθε ομάδας αλλά και ο διάλογος μέσα στην τάξη .Ο εκπαιδευτικός θα κινείται μεταξύ των ομάδων, θα παρεμβαίνει όταν χρειάζεται , θα καθοδηγεί τους μαθητές και θα ελέγχει την πορεία των δραστηριοτήτων .

Θα χρησιμοποιηθεί το λογισμικό geogebra και συγκεκριμένα η 5η έκδοση. Η τελευταία έκδοση περιέχει την εντολή "χελώνα", οπότε εφαρμόζονται και δραστηριότητες που στηρίζονται στην "γεωμετρία της χελώνας" . Έχουμε έτσι τα πλεονεκτήματα του λογισμικού "χελωνόκοσμος" χωρίς όμως να είναι απαραίτητη η χρήση του και η γνώση της γλώσσας Logo.

Εκπαιδευτικό Πρόβλημα

Στο σχολείο η συμμετρία διδάσκεται στην Α΄ γυμνασίου και στην Α΄ λυκείου μέσα από φωτογραφίες αντικειμένων και στατικών σχημάτων που παρουσιάζουν συμμετρία χωρίς να δίνεται ιδιαίτερη έμφαση. Ενώ οι μαθητές βλέπουν συνέχεια γύρω τους αντικείμενα που παρουσιάζουν συμμετρία π.χ. το σώμα τους, ωστόσο δυσκολεύονται να σχεδιάσουν ακόμη και το συμμετρικό ενός σημείου είτε ως προς ένα άλλο σημείο είτε ως προς μια ευθεία.

Συγκεκριμένα στο βιβλίο της Α΄Γυμνασίου για την εισαγωγή της αξονικής συμμετρίας ζητείται από τους μαθητές να "φανταστούν" ότι ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ "διπλώνει" κατά μήκος της μεσοκαθέτου ΑΔ οπότε κάθε σημείο του τριγώνου ΑΒΔ συμπίπτει με ένα σημείο του άλλου τριγώνου ΑΓΔ. Με τη χρήση του λογισμικού όμως οι μαθητές "βλέπουν" ότι πράγματι το συμμετρικό (Σ2) ενός σχήματος (Σ1) ως προς ευθεία ε αποτελείται από όλα τα συμμετρικά σημεία του (Σ1) ως προς την ε.

Παρόμοια, για την κεντρική συμμετρία πρέπει οι μαθητές να "φανταστούν" ότι έχουμε μια στροφή κατά 180^οενώ με το λογισμικό "βλέπουν" και την στροφή αυτή και ότι κάθε σημείο ενός σχήματος (Σ1) έχει το συμμετρικό του ως προ το σημείο Ο στο συμμετρικό σχήμα (Σ2) του (Σ1).

Με την βοήθεια του λογισμικού οι μαθητές θα πειραματιστούν, θα διερευνήσουν, θα φτιάξουν και θα ολοκληρώσουν συμμετρικά σχήματα, προκειμένου να συνειδητοποιήσουν ότι η αξονική συμμετρία είναι απλά ένα ¨καθρέφτισμα¨, ενώ η κεντρική "μια στροφή κατά 180^ο" γύρω από ένα σημείο.

at 50/100 Εύκολο

Εκπαιδευτική Βαθμίδα που απευθύνεται το σενάριο

Γυμνάσιο

Θεματική Ταξινομία

Μαθηματικά (ΔΕ) > Γεωμετρία > Συμμετρία >

Τύπος Διαδραστικότητας

Ενεργός μάθηση

Επίπεδο Διαδραστικότητας

υψηλό

Προτεινόμενη ηλικιακή ομάδα:

-6

6-9

9-12

12-15

15-18

18-25

25+

Φάσεις Ψηφιακού Σεναρίου:

Αξονική συμμετρία

45λεπτά

Χώρος Υλοποίησης

Εργαστήριο πληροφορικής ή εναλλακτικά στην τάξη με χρήση υπολογιστή και βιντεοπροβολέα.

Κεντρική συμμετρία

45λεπτά

Χώρος Υλοποίησης

Εργαστήριο πληροφορικής ή εναλλακτικά στην τάξη με χρήση υπολογιστή και βιντεοπροβολέα.

Ανακεφαλαίωση-Αξιολόγηση

45λεπτά

Χώρος Υλοποίησης

Εργαστήριο πληροφορικής ή εναλλακτικά στην τάξη με χρήση υπολογιστή και βιντεοπροβολέα.

Διδακτικοί Στόχοι

Να αναγνωρίζουν τα συμμετρικά σημεία ως προς σημείο ή ως προς ευθεία.

Να μπορούν να σχεδιάζουν το συμμετρικό ενός σχήματος ως προς το σημείο Ο ή ως προς μια ευθεία ε.

Να αναγνωρίζουν τα σχήματα που έχουν κέντρο ή άξονα συμμετρίας.

Να βρίσκουν ,αν υπάρχουν, τον άξονα (ή τους άξονες) και το κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος.

Να γνωρίζουν ότι τα συμμετρικά σχήματα είτε ως προς σημείο είτε ως προς ευθεία είναι ίσα.

Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου

συμμετρία,

Υλικοτεχνική υποδομή

Εργαστήριο πληροφορικής ή υπολογιστής με βιντεοπροβολέα και σύνδεση στο διαδίκτυο , Πίνακας για σημειώσεις.

Πνευματικά δικαιώματα ή άλλοι αντίστοιχοι περιορισμοί

CC BY-NC

Δημιουργός Σεναρίου: ΒΙΡΓΙΝΙΑ ΔΙΑΜΑΝΤΗ (Εκπαιδευτικός)

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΙΚΟ (τι είναι;)

Αesop - 11704

Το σενάριο « Αξονική και κεντρική συμμετρία» έχει χαρακτηριστεί ως Βέλτιστο (βαθμολογία 70 μονάδων και άνω) ύστερα από αξιολόγηση που πραγματοποιήθηκε από δύο αξιολογητές βάσει κριτηρίων που ορίστηκαν από το ΔΣ του ΙΕΠ.

Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία

Στο σενάριο αξιοποιούνται δράσεις από την καθημερινή ζωή των ανθρώπων, ώστε να εμπλακούμε με δραστηριότητες που αφορούν την ονομασία των γωνιών που σχηματίζονται από δυο ευθείες οι οποίες τέμνονται από μια τρίτη και τον προσδιορισμό των σχέσεων μεταξύ των γωνιών αυτών. Το σενάριο απευθύνεται σε μαθητές Α΄ Γυμνασίου και είναι σχεδιασμένο για δύο διδακτικές ώρες στο σχολικό εργαστήριο πληροφορικής και εφαρμογών ηλεκτρονικών υπολογιστών (ΣΕΠΕΗΥ). Οι μαθητές έχουν εργαστεί με το λογισμικό GeoGebra και γνωρίζουν να κατασκευάζουν γεωμετρικά σχήματα.

Σκοπός των δραστηριοτήτων είναι οι μαθητές να μπορούν να ονοματίσουν αυτές τις γωνίες. Επιπλέον, επιχειρείται η γενίκευση της διαπίστωσης ότι όλες οι οξείες (ή όλες οι αμβλείες) γωνίες που σχηματίζονται από την τομή δύο παράλληλων από μια τρίτη ευθεία είναι μεταξύ τους ίσες και ότι μια οξεία και μια αμβλεία γωνία που σχηματίζουν δύο παράλληλες που τέμνονται από μια τρίτη ευθεία είναι παραπληρωματικές. Οι μαθητές μέσω των μικροπειραμάτων, επιλέγουν κατά βούληση τη γωνία με την οποία η τέμνουσα τέμνει τις παράλληλες και αναλαμβάνουν την πρωτοβουλία για την εξέλιξη της διερεύνησης.

Συνολικά, το σενάριο στοχεύει σε μία εναλλακτική διδακτική προσέγγιση του ζητήματος, μέσα από μία διαδικασία σκαλωσιάς μάθησης και αξιοποίησης πρότερων γνώσεων, με σκοπό να αναπτύξουν οι μαθητές ποικίλες αναπαραστάσεις κατά την εμπλοκή τους με τις δραστηριότητες και να υπερβούν διδακτικά εμπόδια και παρανοήσεις που παρουσιάζουν κατά την εργασία τους με τις παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία.

Οι μαθητές έχουν έρθει σε επαφή με τις παράλληλες ευθείες, τα είδη γωνιών, τις εφεξής και κατακορυφήν γωνίες, τις παραπληρωματικές και τις συμπληρωματικές γωνίες, μέσα από τα μαθηματικά αλλά και από αλληλεπιδράσεις στο φυσικό κόσμο.

Οι μαθητές θα εργαστούν σε ομάδες (ζεύγη) στο ΣΕΠΕΗΥ. Θα διερευνήσουν με τη βοήθεια του φύλλου εργασίας και των δραστηριοτήτων που το συνοδεύουν τις γεωμετρικές έννοιες στο λογισμικό GeoGebra. Εργαζόμενοι και καθοδηγούμενοι από το φύλλο εργασίας, καλούνται να επικοινωνήσουν με τη χρήση μαθηματικής γλώσσας και να αξιοποιήσουν το ψηφιακό εργαλείο που διαθέτουν. Επομένως, η διερεύνηση αυτή θα γίνει συνεργατικά. Για να υπάρχει κοινός στόχος και καλή συνεργασία οι μαθητές καλούνται να συμπληρώσουν ένα κατάλληλο φύλλο εργασίας που περιέχει ερωτήσεις σχετικές με το θέμα. Το φύλλο εργασίας και το μικροπείραμα αφήνει ελευθερίες στους μαθητές ώστε να θέτουν τα δικά τους ερωτήματα και να απαντούν σ’ αυτά. Στη διάρκεια της υλοποίησης του σεναρίου ο εκπαιδευτικός είναι απαραίτητο να ελέγχει τα συμπεράσματα των μαθητών που εργάζονται στους υπολογιστές, να συνεργάζεται μαζί τους, να τους καθοδηγεί ώστε να αντιλαμβάνονται καλύτερα τα αποτελέσματά τους και να τους ενθαρρύνει να συνεχίσουν την διερεύνηση.

Στην περίπτωση που υπάρχει διαθέσιμος διαδραστικός πίνακας, το σύνολο των μαθητών της τάξης μπορεί να μετατραπεί σε μία κοινότητα που σχολιάζει, προτείνει και εφαρμόζει.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα μας δίνει τη δυνατότητα να αναγνωρίσουμε τη στενή συσχέτιση της Άλγεβρας με τη Γεωμετρία και να περιγράφουμε τη σημασία των διαφορετικών αναπαραστάσεων μιας μαθηματικής έννοιας (είτε γεωμετρικά, είτε με τη βοήθεια συγκεκριμένης αλγεβρικής σχέσης).

Η αλεγβρική σχέση που περιγράφει το Πυθαγόρειο Θεώρημα, είναι μία από τις πιο σημαντικές μαθηματικές εξισώσεις που αξιοποιείται στο χώρο των κατασκευών (κτιρίων, επίπλων, τοποθέτηση πλακιδίων, τζαμιών, πορτών κ.α.). Με τη χρήση του Πυθαγορείου Θεωρήματος οι αρχιτέκτονες σχεδιάζουν τα θεμέλια, υπολογίζουν με απόλυτη ακρίβεια τις γωνίες και έχουν σχέδια που χαρακτηρίζονται από πιστότητα. Επίσης, ξυλουργοί το χρησιμοποιούν για να έχει η κατασκευή τους ορθές γωνίες. Τέλος, αξιοποιείται από ορειβάτες και αστρονόμους για τις μετρήσεις τους.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί μία γεωμετρική «ανακάλυψη», μέσω της οποίας δίνεται η ευκαιρία να επεξηγούμε και να διατυπώνουμε το σχετικό θεώρημα. Στη συνέχεια καλούμαστε να μετατρέψουμε τη σχέση των εμβαδών σε αλγεβρική σχέση μεταξύ των πλευρών. Επιπλέον, η ιστορική διάσταση του Πυθαγορείου θεωρήματος αποτελεί ένα ενδιαφέρον ζήτημα του οποίου επιχειρείται η προσέγγιση στο πλαίσιο του σεναρίου.

Στο σενάριο αξιοποιείται ένα πραγματικό πρόβλημα το οποίο καλούμαστε να λύσουμε μέσα από ποικίλες δραστηριότητες που αφορούν το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Το σενάριο απευθύνεται σε μαθητές Β΄ Γυμνασίου και στοχεύει σε μία εναλλακτική διδακτική προσέγγιση του θεωρήματος, με σκοπό να αναπτύξουμε ποικίλες αναπαραστάσεις κατά την εμπλοκή μας με τις δραστηριότητες. Καλούμαστε να προσεγγίσουμε τόσο γεωμετρικά, όσο και αλγεβρικά το θεώρημα. Παράλληλα, το σενάριο αποσκοπεί στην υπέρβαση των διδακτικών εμποδίων και παρανοήσεων που παρατηρούνται κατά την αξιοποίηση του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

Από πρηγούμενες ενότητες έχουμε γνωρίσει τον τρόπο υπολογισμού του εμβαδού τετραγώνου και τριγώνου και είμαστε σε θέση να διακρίνουμε και να εξηγούμε το ορθογώνιο τρίγωνο. Επιπλέον έχουμε εργαστεί με το λογισμικό GeoGebra (χρήση λογισμικού και δυνατότητα κατασκευής γεωμετρικών σχημάτων). Έτσι, με τις δραστηριότητες επιδιώκεται η περιγραφή του Πυθαγορείου Θεωρήματος και του αντίστρόφου του και η εφαρμογή του σε ορθογώνια τρίγωνα. Η περιγραφή θα προκύψει μέσα από την διερεύνηση των δραστηριοτήτων με τη βοήθεια λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας.

Στο πλαίσιο του σεναρίου θα εργαστούμε σε ομάδες των δύο ατόμων (ζεύγη) στο σχολικό εργαστήριο πληροφορικής και εφαρμογών ηλεκτρονικών υπολογιστών. Οι ρόλοι μας εξαρτώνται από τις δραστηριότητες που θα διερευνήσουμε με κυριότερο ρόλο για τους μαθητές αυτόν του ερευνητή. Ο εκπαιδευτικός μπορεί να έχει το ρόλο του παρατηρητή κατά τη διάρκεια της διερεύνησης, ενώ μπορεί να παρεμβαίνει με αναστοχαστικά και παρωθητικά σχόλια, καθώς και να συνεισφέρει ως συνερευνητής κατά την εργασία με τις δραστηριότητες. Η επικοινωνία μεταξύ των ομάδων θα παίξει σημαντικό ρόλο στη διάρκεια και κατά την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων. Η επικοινωνία αυτή μπορεί να πραγματοποιείται με τον συντονισμό του εκπαιδευτικού. Ο εκπαιδευτικός, κατά τη διάρκεια υλοποίησης του σεναρίου είναι σημαντικό να ελέγχει τα συμπεράσματα που προκύπτουν, να διευκολύνει την επιχειρηματολογία και να προκαλεί συζητήσεις στο πλαίσιο της τάξης όταν θεωρεί ότι κάποια συμπεράσματα είναι χρήσιμα για τη συνέχεια.

Στην περίπτωση που υπάρχει διαθέσιμος διαδραστικός πίνακας, όλοι μπορούν να εργαστούν ως μία κοινότητα που σχολιάζει, προτείνει και εφαρμόζει. Η ύπαρξη και η χρήση του διαδραστικού πίνακα μπορεί να συνεισφέρει σε διαφορετικές φάσεις της εφαρμογής των δραστηριοτήτων του σεναρίου.