Οι μαθητές, διαθέτοντας ένα αρχείο λογισμικού GEOGEBRA, στο οποίο ο διδάσκον παρουσιάζει ένα κύκλο μεταβλητής ακτίνας ρ και πολύγωνα εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα σ΄ αυτόν, με μεταβλητό πλήθος πλευρών n, θα μπορέσουν να παρατηρήσουν εποπτικά πως, καθώς αυξάνεται το n, τα πολύγωνα τείνουν να διαμορφώνουν κυκλικό σχήμα.

   Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την προσέγγιση των στοιχείων του κύκλου μέσω  των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων σ’ αυτόν και τον αριθμητικό προσδιορισμό της περιμέτρου και του εμβαδού του, ως τα κοινά  όρια των περιμέτρων και των εμβαδών των πολυγώνων.

   Ακολούθως, παρατηρώντας οι μαθητές την καμπύλη που διαγράφουν τα σημεία  της μορφής (ρ, L) και (ρ, Ε), αναμένεται να διαπιστώσουν τη γνωστή γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ² και κατά συνέπεια να αναδειχθεί ο αντίστοιχος μαθηματικός τύπος L=6,28ρ  και Ε=3,14ρ².

     Στη συνέχεια προτείνονται δυο άλλες προσεγγίσεις των τύπων  L=6,28ρ  και Ε=3,14ρ² . Η πρόταση αυτή δεν έχει ως στόχο την επιβεβαίωση των αποτελεσμάτων στα οποία κατέληξαν οι μαθητές στην προαναφερθείσα διαδικασία, (αν και μπορεί να λειτουργήσει προσθετικά),αλλά κυρίως, γιατί η μελέτη και διερεύνηση του μήκους κύκλου και του εμβαδού κυκλικού δίσκου άπτεται και άλλων μαθηματικών πεδίων και δίνεται η ευκαιρία και η δυνατότητα στους μαθητές, είτε να ανακαλέσουν και να επεξεργαστούν προγενέστερες γνώσεις, είτε να έρθουν σε επαφή με καινούργιες μαθηματικές έννοιες.

Πιο συγκεκριμένα:

     Η προσέγγιση του τύπου L=6,28ρ  προτείνεται να πραγματοποιηθεί με τη χρήση  του ακτινίου, ως μονάδα μέτρησης.

     Η προσέγγιση του τύπου Ε=3,14ρ²  προτείνεται να πραγματοποιηθεί με τη χρήση των πάνω και κάτω αθροισμάτων  των ορθογωνίων.

     Στον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας, ο διδάσκον, διαθέτοντας μόνο στατικά μέσα παρουσίασης, δηλ. τον πίνακα και την κιμωλία, είναι αδύνατον να κατασκευάσει εποπτικά τα εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα σε ένα κύκλο και μάλιστα με αυξανόμενο πλήθος πλευρών. Έτσι καταφεύγει σε μια λεκτική περιγραφή της διαδικασίας και καλεί τους μαθητές να ΄΄φανταστούν΄΄ αυτή  τη προσεγγιστική  διαδικασία και να ΄΄δεχτούν΄΄ την ύπαρξη των κοινών ορίων, που επιπροσθέτως ορίζονται αριθμητικά με αυθαίρετο τρόπο.

     Με τη βοήθεια των αναπαραστατικών εργαλείων που διαθέτει το αρχείο λογισμικού, λύνεται το κατασκευαστικό πρόβλημα, ο διδάσκον μπορεί να παρουσιάσει εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύγωνα σε ένα κύκλο  με αυξανόμενο πλήθος πλευρών.

      Έτσι οι μαθητές θα διαπιστώσουν ,΄΄ιδίοις όμμασι΄΄ , καθώς επεμβαίνουν δυναμικά στο σχήμα, την τάση  των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων  να διαμορφώνουν κυκλικό σχήμα, καθώς αυξάνεται το πλήθος πλευρών τους  n και την ύπαρξη των κοινών ορίων, τα οποία θα ταυτίσουν, μέσω της εικόνας, με το μήκος κύκλου και το εμβαδόν κυκλικού δίσκου.

     Ταυτόχρονα, η δυνατότητα του λογισμικού να υπολογίζει αυτόματα την περίμετρο και το εμβαδόν των πολυγώνων, οδηγεί τους μαθητές στον προσδιορισμό των κοινών τους ορίων και κατ’ επέκταση στον αριθμητικό προσδιορισμό το μήκος κύκλου L και το εμβαδόν κυκλικού δίσκου E αντίστοιχα, και αυτό θα ήταν αδύνατον να επιτευχτεί στον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας.

     Επιπροσθέτως, καθώς το λογισμικό παρέχει τη δυνατότητα ΄΄ζουμαρίσματος’’ , οι μαθητές μπορούν να παρατηρήσουν εποπτικά τον μη ΄΄ακριβή΄΄ προσδιορισμό των ορίων, με επακόλουθο την διαπίστωση της άρρητης μορφής του αριθμού π. 

     Το ίδιο ισχύει και στην προσέγγιση του ημικυκλίου από τα πάνω και κάτω αθροίσματα  των ορθογωνίων , ο προσδιορισμός  του κοινού ορίου και η ταυτοποίηση του με το εμβαδόν.

     Στη συνέχεια, ο μαθητής καλείται να ταυτίσει τους αριθμούς που πρόεκυψαν με το 2πρ και πρ² . Αυξομειώνοντας τις τιμές του ρ μέσω του δρομέα , τα ενεργά σημεία  (ρ, L) και (ρ, Ε) διαγράφουν δυο γνωστές γραφικές παραστάσεις ,των συναρτήσεων αντίστοιχα και  κάνοντας χρήση ενός τυχαίου σημείου (ρ, L) και (ρ, Ε), θα καθοριστούν οι τιμές των α και β και οι μαθητές αναμένεται να καταλήξουν στους τύπους L=6,28ρ  και Ε=3,14ρ².

     Η παραπάνω διαδικασία που περιγράφηκε, μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο χάρη στη δυνατότητα του λογισμικού να παρέχει πολλαπλές και  αλληλοεξαρτώμενες δυναμικές αναπαραστάσεις.

    Όσον αφορά στην κατασκευή του ακτινίου, αυτή είναι εφικτή μόνο στο αρχείο λογισμικού , στο οποίο, ο μαθητής μετακινώντας το ένα άκρο του τόξου μέσω του δρομέα , μπορεί να επιτύχει να κατασκευάσει τόξο μήκος όσο η ακτίνα. Ταυτόχρονα η δυνατότητα που παρέχει το λογισμικό για  αυτόματο αριθμητικό προσδιορισμό της  αντίστοιχης  επίκεντρης  γωνία του, οδηγεί στον αριθμητικό προσδιορισμό του λόγου : (360⁰/επικεντρη γωνία)=6,28  και κατ’ αντιστοιχία στον λόγο L/ρ=6,28.

   Αυτή η προσέγγιση βοηθά  να κατανοήσουν και να εμβαθύνουν οι μαθητές στην έννοια του ακτινίου, την οποία έχουν ήδη συναντήσει στην τριγωνομετρία, αλλά είναι μια έννοια που τους δυσκολεύει και συχνά συγχέουν το 2π που είναι ο καθαρός αριθμός 6,28 με το 2πrad=(360⁰).

     Με την εφαρμογή της διδακτικής πορείας που περιγράφηκε και η οποία μπορεί να λάβει χώρα μόνο με τη χρήση του αρχείου λογισμικού, οι μαθητές καταλήγουν μόνοι τους στους ζητούμενους τύπους, μέσα από τον δυναμικό χειρισμό του σχήματος. Έτσι από παθητικοί αποδέκτες μιας γνώσης που δίνεται ΄΄a priori΄΄ και που απλώς πρέπει να αποστηθίσουν, γίνονται συμμέτοχοι στην διδακτική διαδικασία , μέσα από την διερεύνηση, τον πειραματισμό και την προσωπική έρευνα.

     Αναμένεται να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο προσωπικής διερεύνησης ότι δηλ. μπορεί να εικάσει, να υποβάλει τις εικασίες του σε δοκιμασία, να συμπεράνει και μέσα από την κοινωνική αποδοχή στα πλαίσια της τάξης να καταλήξει σε τεκμηριωμένα συμπεράσματα.

      Αυτό δημιουργεί αφ’ ενός μια εις βάθος κατανόηση των μαθηματικών εννοιών , που διαρκεί στο χρόνο και δημιουργεί τις προϋποθέσεις για επιτυχή εφαρμογή και επέκταση τους και αφετέρου ένα αίσθημα ικανοποίησης, που προέρχεται από την επιτυχή ολοκλήρωση μιας προσωπικής διεργασίας και αναζήτησης και μια θετική διάθεση απέναντι στο μάθημα.

     Ταυτόχρονα η σύνδεση μαθηματικών πεδίων φαινομενικά ασύνδετων για τους μαθητές, της γεωμετρίας-τριγωνομετρίας(ακτίνιο)-γραφικές παραστάσεις-όρια-ορισμένο ολοκλήρωμα , καθώς και η δυναμική τους αλληλεξάρτηση μέσω των πολλαπλών αναπαραστάσεων, άρουν τον κατακερματισμό των μαθηματικών και την αποσπασματική τους παρουσίαση, που λαμβάνει χώρα στο παρόν αναλυτικό πρόγραμμα και θα  οδηγήσουν τον μαθητή στη διαπίστωση ότι τα μαθηματικά λειτουργούν ως ένα ενιαίο και μεθοδικά δομημένο σύνολο.

     Αυτό θα έχει ως επιθυμητό αποτέλεσμα την ανακατασκευή της λαθεμένης αντίληψης ,ότι τα μαθηματικά αποτελούνται από ασύνδετες και διακριτές έννοιες, οι οποίες εφαρμόζονται εστιασμένα μόνο στο μαθηματικό πεδίο στο όποιο ήρθε ο μαθητής σε επαφή με αυτές και αδυνατεί να τις ανακαλέσει και να τις εφαρμόσει σε άλλα πεδία, θεωρώντας ότι δεν υπάρχει σχέση αλληλεξάρτησης τους.

     Θα διαπιστώσει ότι η πορεία προσέγγισης  για την κατάκτηση μιας μαθηματικής οντότητας δεν είναι μονόδρομος και αυτό έχει ως επιθυμητό αποτέλεσμα την ανάπτυξης της αντίληψης των εναλλακτικών επιλογών.

     Άλλωστε η κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας αυξάνεται και βαθαίνει ανάλογα με το πλήθος των συνδέσεων που μπορεί να έχει με άλλες έννοιες ,μέσα στο χώρο των Μαθηματικών.

    Όσον αφορά τον ρόλο του εκπαιδευτικού ,αυτός μεταβάλλεται καταλυτικά. Καταργείται η από καθ’ έδρας διδασκαλία και ο διδάσκον δεν παρουσιάζεται ως αυθεντία και μοναδικός φορέας της γνώσης, την οποία παρέχει στους μαθητές, οι οποίοι οφείλουν να την δεχτούν και να την αποστηθίσουν. Αντιθέτως, η γνώση έρχεται μέσα από μια συλλογική διερεύνηση, κατά την οποία ο ρόλος του είναι συμβουλευτικός-καθοδηγητικός. Παρακινεί και εμψυχώνει τους μαθητές του να αναπτύξουν αυτενέργεια και τους παρέχει τα κατάλληλα ερεθίσματα ώστε να κατακτήσουν τη γνώση μέσα από τη δική τους νοητική επεξεργασία.

     Η σχολική τάξη μετατρέπεται σε ένα εργαστήρι μαθηματικής έρευνας, διερεύνησης , πειραματισμού και στην διαδικασία μάθησης εμπλέκονται δυναμικά ο εκπαιδευτικός ,οι μαθητές και τα τεχνολογικά εργαλεία.

     Αλλά και με κοινωνικούς όρους, αυτή η αλληλεπίδραση των μαθητών μιας ομάδας, των ομάδων μεταξύ τους και του εκπαιδευτικού σ’ αυτήν την διερεύνηση-αναζήτηση και η επίτευξη του στόχου μέσα από την κοινή προσπάθεια αναπτύσσει και επιβεβαιώνει την  σπουδαιότητα και αποτελεσματικότητα της συνεργασίας.