Διδασκαλία ανάλογων ποσών. Διάκριση αναλογικών μη αναλογικών μεταβολών.
Μαθηματικά (ΔΕ) (Γυμνάσιο)
Διδασκαλία ανάλογων ποσών. Διάκριση αναλογικών μη αναλογικών μεταβολών.
Το Σκεπτικό του Σεναρίου
Η αναλογία είναι μια βασική έννοια στη μαθηματική εκπαίδευση και από τις πρώτες που διδάσκονται οι μαθητές. Η αναλογική σκέψη συνδέεται άμεσα με την ικανότητα διαμόρφωσης κρίσης, λογικής και αναγνώρισης της σχέσης μεταξύ μεγεθών που μεταβάλλονται ταυτόχρονα. Οι ανάλογες σχέσεις είναι από τις πλέον χρήσιμες στην καθημερινή ζωή, τα μαθηματικά, και τις άλλες επιστήμες. Ένα μεγάλο πλήθος ερευνών όμως, έχει επισημάνει πως μια σειρά από λάθη σε διάφορες μαθηματικές περιοχές οφείλονται στην τάση ανθρώπων διάφορων ηλικιών να εφαρμόζουν τεχνικές αναλογίας, ακόμα και σε καταστάσεις όπου τα μεγέθη δεν μεταβάλλονται ανάλογα. Το φαινόμενο αυτό έχει καταγραφεί στη βιβλιογραφία σαν «ψευδαίσθηση της γραμμικότητας» (illusion of linearity) ή με άλλους όρους που είναι περίπου συνώνυμοι (De Bock.κ.α, 2007 σελ 4). Πέρα από διάφορους παράγοντες διαισθητικής φύσης που συμβάλουν στην εμφάνιση του φαινομένου (Tirosh, Stavy 1999) η ακολουθούμενη εκπαιδευτική πρακτική έχει το δικό της μερίδιο ευθύνης(Hatano, 2003 από Κοντογιαννόπουλος 2010 σελ 46). Συχνά, υπάρχει μια ισχυρή εστίαση στην τεχνικά σωστή και ευχερή εκτέλεση αλγοριθμικών διαδικασιών που αφορούν τις ιδιότητες της αναλογίας, χωρίς να διερευνάται το πλαίσιο εφαρμογής τους. Για να περιοριστεί το φαινόμενο, γίνεται λόγος από τους ερευνητές για πρακτικές που θα δίνουν έμφαση στα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της έννοιας και θα ενισχύουν την ικανότητα των μαθητών να διακρίνουν αναλογικές από μη αναλογικές καταστάσεις(De Bock.κ.α, 2007). Αν η διδασκαλία υποστηριχθεί από ένα λογισμικό δυναμικής γεωμετρίας, μια σειρά από μεταβολές σαν αυτές της περιμέτρου και του εμβαδού ενός τετραγώνου συναρτήσει της πλευράς του, της περιμέτρου ενός ορθογωνίου με σταθερό πλάτος συναρτήσει του μήκους του, μπορούν να οπτικοποιηθούν και να διερευνηθούν με δυναμικό τρόπο. Η δυνατότητα του λογισμικού να υπολογίζει τους λόγους των τιμών των μεγεθών που συμμεταβάλλονται, όπως και να απεικονίζει τα αντίστοιχα ζεύγη τιμών στο καρτεσιανό επίπεδο, επιτρέπει στους μαθητές να διερευνήσουν τις ιδιαίτερες ιδιότητες και αναπαραστάσεις καθεμιάς από τις προηγούμενες μεταβολές. Σε αντίθεση με τη μελέτη των μεταβολών αυτών μέσα από τη στατική απεικόνιση κάποιων στιγμιότυπων που προσφέρει ένας πίνακας τιμών, εδώ με το δυναμικό χειρισμό των σχημάτων έχουν τη δυνατότητα να τις μελετούν σε ένα συνεχές φάσμα τιμών. Οι μαθητές μπορούν να οδηγηθούν στην ανακάλυψη του σταθερού λόγου των τιμών δυο ανάλογων ποσών και τη διερεύνηση του τρόπου που αυτά παρίστανται γραφικά. Εχουν τη δυνατότητα να συνδέουν διαφορετικές εκφράσεις της αναλογίας και να τις αντιπαραβάλουν χαρακτηριστικά μεταβολών στις οποίες δεν υπάρχει σχέση αναλογίας.
Βιβλιογραφία
Επιμορφωτικό υλικό για την επιμόρφωση των εκπαιδευτικών στα Κέντρα Στήριξης Επιμόρφωσης, Τεύχος 4: Κλάδος ΠΕ03, Β έκδοση, Πάτρα, Νοέμβριος 2010.
De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D Verschaffel, L. & Janssens, D. (2007). «The Illusion of Linearity From Analysis to Improvement»‘ (Mathematics Education Library). New York: Springer.
Κυνηγός Χρόνης (2006) .Το μάθημα της διερεύνησης. Ελληνικά Γράμματα.
Tirosh, D., & Stavy, R. (1999). Intuitive rules and comparison tasks. Mathematical Thinking and Learning, 1(3), 179–194.
Κοντογιαννόπουλος Κων/νος (2010). Η γραμμική αντίληψη σαν αιτία μαθηματικού λάθους: διπλωματική εργασία του στα πλαίσια του μεταπτυχιακού προγράμματος: «Διδακτική και Μεθοδολογία Μαθηματικών»
Επέκταση του σεναρίου
Το προτεινόμενο σενάριο μπορεί να εφαρμοστεί κατά την διδασκαλία των αντίστοιχων γνωστικών περιοχών στην Β Γυμνασίου ή την Α’ Λυκείου. Σ’ αυτές τις περιπτώσεις η προσέγγιση ενδείκνυται να γίνει μέσα από την σκοπιά της συνάρτησης και να αναδειχθούν τα χαρακτηριστικά δυο βασικών συναρτήσεων που διδάσκονται στις τάξεις αυτή. Δυο χαρακτηριστικές ιδιότητες που ορίζουν τη γραμμική συνάρτηση f(x)=ax είναι η προσθετική: f(x+y)=f(x)+f(y) και η πολλαπλασιαστική: f(ax)=af(x). Μπορεί μέσα από τη μελέτη διάφορων μεταβολών να συζητηθεί η ισχύς των προηγούμενων ιδιοτήτων. Προτείνεται επίσης προσθήκη δραστηριοτήτων με μεταβολές σχετικές με τη συνάρτηση ψ= α.χ+β με στόχο οι μαθητές να κατανοήσουν πως παρά το ότι η γραφική της παράσταση είναι ευθεία γραμμή, η συνάρτηση αυτή δε συνδέει ανάλογα ποσά και δεν έχει τις προηγούμενες γραμμικές ιδιότητες
Oι μαθητές εργαζόμενοι ομαδοσυνεργατικά σε φύλλο εργασίας και υποστηριζόμενοι από μικρές εξειδικευμένες εφαρμογές που δημιουργήθηκαν με το λογισμικό GeoGebrα, διερευνούν τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά και τη γραφική αναπαράσταση της συμμεταβολλής δυο μεγεθών. Αυτό γίνεται σε περιπτώσεις που τα μεγέθη μεταβάλονται ανάλογα καθώς και σε άλλες που δεν υπάρχει σχέση αναλογίας. Τους δίνεται η δυνατότητα να προσεγγίσουν την αναλογία μέσα απο τρία διαφορετικά πρίσματα: τον ορισμό του σχολικού βιβλίου, την ισότητα των λόγων των αντίστοιχων τιμών και την γραφική αναπαράσταση με ευθεία που διέρχεται από τη αρχή των αξόνων. Διαπιστώνουν πως όλες οι προηγούμενες είναι ισοδύναμες εφράσεις της αναλογίας, καθώς με κατάλληλες δραστηριότητες μπορούν να μεταβούν από τη μια στην άλλη. Η κατανόηση των προηγούμενων χαρακτηριστικών της αναλογίας, σε συνδυασμό με την αντιπαραβολή μεταβολών όπου οι αντίστοιχες τιμές των ποσών αυξάνονται ταυτόχρονα χωρίς όμως να είναι ανάλογα, ενισχύει την ικανότητά τους να αναγνωρίζουν ανάλογες από μη ανάλογες μεταβολές. Επιπλέον μέσα στο φύλλο εργασίας τίθεται προβληματισμός για μια σειρά παρανοήσεων για την αναλογία που περιγράφονται στη βιβλιογραφία, όπως για παράδειγμα πως στην περίπτωση που δυο μεγέθη μεταβάλλονται ώστε η διαφορά τους να παραμένει σταθερή (η τιμή του ενός μεταβάλεται ακριβώς όσο και η αντίστοιχη τιμή του άλλου), είναι ανάλογα.
Επισημαίνεται ότι αν στο σενάριο και το υλικό που το συνοδεύει περιλαμβάνονται εικόνες ανηλίκων, έχει ληφθεί η αναγκαία συναίνεση από τους γονείς ή κηδεμόνες.
Το παρόν Ψηφιακό Σενάριο χορηγείται με άδεια "Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike Greece 3.0". Δηλαδή, αυτό διατίθεται για ελεύθερη χρήση, αναπαραγωγή, αναδιανομή, παρουσίαση και αξιοποίηση, με την προϋπόθεση να μην υπάρχει πρόθεση εμπορικής εκμετάλλευσης. Απαιτείται αναφορά του δημιουργού ή του δικαιούχου της άδειας. Οποιοδήποτε παράγωγο έργο μπορεί να διανεμηθεί μόνο με την ίδια ή παρόμοια άδεια.Το παρόν διατίθεται στο κοινό για ελεύθερη χρήση, αναπαραγωγή, διανομή, παρουσίαση και αξιοποίηση. Απαιτείται αναφορά του δημιουργού ή του χορηγού της άδειας. Δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για εμπορικούς σκοπούς. Εάν τροποποιηθεί ή δημιουργηθεί κάτι νέο βασισμένο σε αυτό, αυτό που θα προκύψει θα μπορεί να διανεμηθεί μόνο με την ίδια ή παρόμοια άδεια (Creative Commons 3.0/CC BY - NC -SA 3.0). Οι δημιουργοί έχουν παραχωρήσει στο ΙΕΠ και το ΥΠΟΠΑΙΘ το δικαίωμα ελεύθερης χρήσης, αξιοποίησης και διάθεσης του υλικού με ηλεκτρονικά και έντυπα μέσα, στην Ελλάδα και στο Εξωτερικό και για απεριόριστο χρονικό διάστημα. Οι δημιουργοί εγγυώνται ότι το παρόν δεν προσβάλλει δικαιώματα τρίτων και δεν χρησιμοποιεί μελέτες ή προϊόντα τρίτων χωρίς νόμιμη άδεια αυτών.