Η φάση αυτή αποτελείται από τα εξής στάδια

• Προσέγγιση του ορισμένου ολοκληρώματος ως εμβαδόν ενός χωρίου
• Αναγκαιότητα ύπαρξης του ενδιάμεσου αθροίσματος ως απαραίτητο συστατικό του ορισμού
• Επέκταση του ορισμού
• Ανακεφαλαίωση – εφαρμογές

Προτού αναλύσουμε ειδικότερα τα στάδια, θα πρέπει να αναφέρουμε ότι σε αρκετές ερωτήσεις  το πέρασμα από τη μια  στην άλλη θα πρέπει να γίνει μόνο αφού έχει αναπτυχθεί μια διαλεκτική διαπραγμάτευσης των αποτελεσμάτων, την οποία θα καθοδηγεί ό διδάσκων.

Στάδια 1, 2

Τα δύο πρώτα στάδια σχετίζονται με το φύλλο εργασίας 1 (Φ.Ε.1) και με σχετικό αρχείο λογισμικού το ορισμένο ολοκλήρωμα – εισαγωγή

Στο εν λόγω αρχείο έχει επιλεγεί μια πολυωνυμική συνάρτηση και ως εκ τούτου συνεχής, μέχρι 3^ου βαθμού παραμετροποιημένη από τέσσερις (4) δρομείς a, b, c και d, για περισσότερους πειραματισμούς. Θέτουμε τους δρομείς της συνάρτησης σε κατάλληλες θέσεις (προτεινόμενες αρχικές τιμές των δρομέων a=–0.9, b=1.1, c=0.3, d=0.7). Υπάρχει ένας δρομέας n ο οποίος δίνει τις διαμερίσεις και ο οποίος είναι συνδεδεμένος με ένα κουτί εισαγωγής αν οι μαθητές επιθυμούν να έχουν πιο ελεγχόμενη οπτική επαφή. Επιλέγουμε δύο σημεία Α. Β του άξονα x΄x (οριζόμενα από δρομείς α και β) όπου η συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα (στο αρχικό αρχείο έχουν επιλεγεί α=0,1 και β=1). Οι εξηγήσεις αυτές πρέπει να δοθούν στους μαθητές προτού αρχίσει η ενασχόλησή τους με τις ερωτήσεις του φύλλου εργασίας.

Κρίνεται σκόπιμο να αναφέρουμε λίγα λόγια για το σκεπτικό κάποιων ερωτήσεων καθώς και τις αναμενόμενες απαντήσεις των μαθητών.

Στο Φ.Ε.1, ερ.3, αναμένεται ότι οι μαθητές θα απαντήσουν ότι θα χρησιμοποιήσουν ένα από τα δύο αθροίσματα. Η ερώτηση 4, σχεδιάστηκε με το σκεπτικό ότι έχουν απαντήσει το κάτω άθροισμα

Στο Φ.Ε.1, ερ.4, εκτιμούμε ότι το πιθανότερο είναι να απαντήσουν ότι χρησιμοποιούν το αριστερό άκρο του διαστήματος. Να σημειώσουμε ότι για κάτι τέτοιο τους προϊδεάζει και επιλογή του τμήματος της καμπύλης στο αρχείο (όπου είναι γνησίως αύξουσα), αλλά και το αντίστοιχο σχήμα του σχολικού βιβλίου. Εδώ είναι σημαντική η παρέμβαση του διδάσκοντος, ο οποίος μπορεί να χειριστεί το θέμα απευθύνοντας ερώτηση στο σύνολο των ομάδων και όχι σε κάθε μία ξεχωριστά. Θέτοντας το άκρο Β σε άλλη – κατάλληλη θέση, π.χ. εκεί που τέμνει η γραφική παράσταση των άξονα x΄x) – και επιλέγοντας μια διαμέριση, όπου δεν συμβαίνει αυτό, τους καλούμε να ελέγξουν την απάντησή τους και καταλήγουμε ότι το ύψος που χρησιμοποιούν κάθε φορά είναι το ελάχιστο της συνάρτησης f. Ακολουθεί συζήτηση για τον υπολογισμό του ελαχίστου, του οποίου γνωρίζουν την ύπαρξη από το θεώρημα μεγίστου – ελαχίστου – συνεχής σε κλειστό διάστημα – αλλά δεν είναι εύκολο να υπολογιστεί κάθε φορά. Οδηγούμαστε έτσι στην αναγκαιότητα ενός «ενδιάμεσου αθροίσματος» και κατευθύνουμε τους μαθητές σε μια αλγεβρική κατ’ αρχάς προσέγγιση όπου θα έχουμε ότι σε κάθε διαμέριση πλάτους Δx θα ισχύει f_min≤f(ξ_i)≤f_max  , άρα  κ.τ.λ.. Επιλέγουμε για τυχαίο ξ_i  το αριστερό άκρο του διαστήματος και συνεχίζουμε στα επόμενα ερωτήματα

Στο Φ.Ε.1, ερ.5, θεωρούμε ικανοποιητική οποιαδήποτε απάντηση μπορεί να περιγράψει λεκτικά το ορισμένο ολοκλήρωμα ως άθροισμα στοιχειωδών εμβαδών ορθογωνίων. Ο τυπικός ορισμός μπορεί να δοθεί από τον διδάσκοντα με την παρατήρηση ότι θα είναι  Ε(Ω)≥0. Στη συνέχεια εμφανίζουμε στο αρχείο λογισμικού το «ορισμένο ολοκλήρωμα», όπου πλέον θα γίνει αριθμητική και γεωμετρική ταύτιση των αποτελεσμάτων

Στάδιο 3

Σχετίζεται με το Φ.Ε. 2

Διατύπωση του ορισμού γενικά – Επέκταση του ορισμού όταν α=β και όταν α>β

Σχετικό αρχείο λογισμικού ορισμένο ολοκλήρωμα - εισαγωγή

Μέχρι τώρα οι μαθητές έχουν προσεγγίσει  το ορισμένο ολοκλήρωμα ως ένα εμβαδόν μιας συνεχούς θετικής συνάρτησης.

Στα επόμενα θα δούμε τον ορισμό για κάθε συνεχή συνάρτηση, ασχέτως προσήμου και θα δούμε τον ορισμό στην περίπτωση που τα άκρα είναι ίσα καθώς και όταν α > β. Εδώ θα πρέπει να ελεγχτεί από τον διδάσκοντα μήπως  δημιουργηθεί εσφαλμένη εντύπωση ότι αντιστρέφουμε τα άκρα μόνο όταν το κάτω άκρο είναι μεγαλύτερο από το επάνω.Το σχετικό αρχείο προσφέρει τη δυνατότητα ανάλογης αποσαφήνισης.

Στάδιο 4

Στο στάδιο αυτό θα γίνει μια ανακεφαλαίωση των όσων έχουν αναπτυχθεί μέχρι τώρα και θα αναφερθούν οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος, χωρίς περαιτέρω νοηματοδότηση, καθαρά για θέμα χρόνου. Προτείνεται όμως, οι μαθητές να ασχοληθούν ως εργασία στο σπίτι με σχετικό αρχείο λογισμικού που αφορά στο «σπάσιμο» του διαστήματος ολοκλήρωσης. Στη συνέχεια οι μαθητές θα ασχοληθούν με εφαρμογές στη γεωμετρική ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος.