Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)
Κατεβάστε σε μορφή PDF
 3 ώρες

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής (Συμμετρία σε κύκλο)

Γενική περιγραφή περιεχομένου: 

Με τα διάφορα είδη συμμετρίας εξοικειωνόμαστε από τα πρώτα  παιδικά μας χρόνια. Αργότερα στα πλαίσια των σχολικών μαθηματικών, μελετάμε συστηματικότερα κάποια είδη συμμετριών, όπως η κεντρική και η αξονική συμμετρία.

Στο σενάριο αυτό θα ασχοληθούμε με το γεωμετρικό μετασχηματισμό της αντιστροφής, που είναι ένα λιγότερο γνωστό είδος συμμετρίας, αλλά όπως έχει διαπιστωθεί πολύ γόνιμο στα μαθηματικά. Θα προσεγγίσουμε τις έννοιες που σχετίζονται μ’ αυτόν και θα μελετήσουμε τις βασικές του ιδιότητες. Τέλος θα εφαρμόσουμε αυτό το μετασχηματισμό στην  επίλυση κάποιων γεωμετρικών προβλημάτων.

Το σενάριο μπορούν να παρακολουθήσουν όλοι οι μαθητές που γνωρίζουν τα βασικά πάνω στις μετρικές σχέσεις στα τρίγωνα και στον κύκλο. Στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα, οι μαθητές αποκτούν αυτές τις γνώσεις κατά τους πρώτους μήνες της φοίτησής τους στη Β' λυκείου.

Το σενάριο έχει την εξής ιδιομορφία: Δεν είναι η παρουσίαση ενός ζητήματος που άμεσα πραγματεύεται το σχολικό βιβλίο. Αντίθετα στοχεύει να δείξει στους μαθητές, πώς αυτά τα οποία έχουν διδαχθεί, μπορούν να γίνουν η αφετερία και η βάση ώστε να επεκτείνουν τους ορίζοντές τους, να δούν και να αντιμετωπίσουν ακόμη και γνωστά τους προβλήματα, από  διαφορετική οπτική γωνία, με μια διαφορετική μέθοδο. Απ' αυτή την άποψη θα λέγαμε ότι είναι ένα mini project, πάνω στη θεωρία της αντιστροφής. Μια παράλληλη δραστηριότητα, κατά τη διδασκαλία των μετρικών σχέσεων. Ως εκ τούτου, και λόγω της δυσκολίας του θέματος, η ιδανικότερη σύνθεση ακροατηρίου για την υλοποίηση αυτού του σεναρίου, θα προέκυπτε με την εθελοντική συμμετοχή μαθητών, που έχουν αυξημένο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά. Αν ωστόσο ο διδάσκοντας αποφασίσει την υλοποίηση του σεναρίου σε ένα συνηθισμένο σχολικό ακροατήριο, μπορεί, κατά την κρίση του, να παραλείψει τις δραστηριότητες αυξημένης δυσκολίας.

Ο μετασχηματισμός της αντιστροφής, σε αντίθεση με τους άλλους γνωστούς μετασχηματισμούς συμμετρίας, είναι δύσκολο να υλοποιηθεί με το "χέρι". Έτσι η χρήση λογισμικού καθίσταται απολύτως δικαιολογημένη, παίζοντας ένα βασικό και όχι διακοσμητικό ρόλο στο σενάριο.

Είναι γεγονός πως τα τελευταία χρόνια, λόγω και των απαιτήσεων του εξεταστικού συστήματος για την εισαγωγή στα ΑΕΙ, η διδασκαλία της γεωμετρίας περιθωριοποιήθηκε και συρικνώθηκε. Ένας στόχος λοιπόν του σεναρίου αυτού, είναι να ξαναζωντανέψει το ενδιαφέρον για τα γεωμετρικά προβλήματα, και το ρόλο που αυτά έχουν στη διαμόρφωση της παιδείας μας.

 

Βιβλιογραφία

Η ανάπτυξη του υλικού στο σενάριο, είναι βασισμένη στις παρακάτω πηγές:

  1. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΠΑΡΙΣ ΠΑΜΦΙΛΟΣ
  2. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ - Vladimir Dubrovsky - Άρθρο στο περιοδικό QUANTUM 1999 T.6/T.6
  3. Ευκλείδειος Γεωμετρία – Σπ. Κανέλλου
  4. ΜΕΓΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΓΚΥΚΛΟΠΑΙΔΕΙΑ τ.2
  5. ADVANCED EUCLIDEAN GEOMETRY – ROGER JOHNSON
  6. ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α', Β' ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΕΔΒ
  7. LOBACHEVSKIAN GEOMETRY - A.S. SMOGORZHEVSKY
  8.  ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ (ΙΗΣΟΥΪΤΩΝ)

 

Εκπαιδευτικό Πρόβλημα: 

Να γνωρίσουν οι μαθητές το μετασχηματισμό της συμμετρίας ως προς κύκλο, που συχνά αποκαλείται και μετασχηματισμός αντιστροφής, και αποτελεί μια αποτελεσματική μέθοδο για την εύκολη επίλυση κάποιων γεωμετρικών προβλημάτων.

Φάσεις Ψηφιακού Σεναρίου: 
60 λεπτά
Φάση 1: Ο μετασχηματισμός της Αντιστροφής στη Γεωμετρία
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο πληροφορικής
60 λεπτά
Φάση 2: Οι βασικές προτάσεις της θεωρίας Αντιστροφής
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο πληροφορικής
60 λεπτά
Φάση 3: Χρήση της αντιστροφής στη λύση προβλημάτων.
Χώρος Διεξαγωγής: Εργαστήριο πληροφορικής
Διδακτικοί Στόχοι: 
  1. Να φανεί η σπουδαιότητα και η χρησιμότητα γνωστών γεωμετρικών θεωρημάτων
  2. Να γνωρίσουν οι μαθητές τη θεωρία της Αντιστροφής και της εφαρμογής της στη λύση προβλημάτων.
  3. Να εξοικειωθούν οι μαθητές στη χρήση βοηθητικού λογισμικού για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων
  4. Να μάθουν οι μαθητές, να ερευνούν ένα πρόβλημα στα πλαίσια μιας ομάδας
Λέξεις κλειδιά που χαρακτηρίζουν τη θεματική του σεναρίου: 
αντιστροφή
γεωμετρία
μετασχηματισμός
συμμετρία
απεικόνιση
κύκλος
ευθεία
καθετότητα
ορθογώνιοι κύκλοι
inversion
Υλικοτεχνική υποδομή: 
Εργαστήριο πληροφορικής, Προτζέκτορας ,Σύνδεση στο Internet, Φωτοτυπίες φύλλων εργασίας
Δημιουργός Σεναρίου: Γεώργιος Κασαπίδης (Εκπαιδευτικός)