Φάση Σεναρίου

Μαθηματικά (ΔΕ) (Γενικό Λύκειο)

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι εφαρμογές τους

3 ώρες

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημχ, συνχ, εφχ

60λεπτά
Φύλλα Εργασίας
fyllo_ergasias_2_1.doc fyllo_ergasias_2_2.doc fyllo_ergasias_2_3.doc fyllo_ergasias_2_4.docx

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να εισαχθούν με διάφορους τρόπους. Οι ορισμοί έχουν δοθεί στο Γυμνάσιο με τη μορφή λόγων των πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και είναι βασισμένοι πάνω στην έννοια της γωνίας που είναι μια δύσκολη έννοια.

Στη φάση αυτή θα ορίσουμε εκ νέου τους τριγωνομετρικούς αριθμούς χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, επεκτείνοντας τους ήδη γνωστούς ορισμούς με τους λόγους. Το μεγάλο πλεονέκτημα της χρήσης του κύκλου στη διαδικασία μέτρησης γωνιών είναι οι γωνίες μπορεί να υπερβαίνουν τις 90 μοίρες, ενώ στο τρίγωνο δεν υπάρχει αυτή η δυνατότητα. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τα ακτίνια, επεκτείνουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε εφαρμογές που δεν περιέχουν γωνίες, αλλά οποιαδήποτε μονάδα, όπως π.χ. ο χρόνος.

Πιο συγκεκριμένα, αρχικά οι μαθητές παρακολουθούν ένα βίντεο όπου το ημίτονο και το συνημίτονο ορίζονται σαν την τεταγμένη και την τετμημένη σημείου αντίστοιχα πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο.Το γνωστό μας ορθογώνιο τρίγωνο είναι ορατό σε κάθε τεταρτημόριο κατά την κίνηση πάνω στον κύκλο και έρχεται σε συμφωνία με τα όσα ήδη γνωρίζουν οι μαθητές. Στη συνέχεια είναι αναγκαίο να θυμηθούν οι μαθητές το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών και να γίνει συζήτηση πάνω στη χρησιμότητα και το σκοπό που εξυπηρετεί η χρήση του ακτινίου στον οριζόντιο άξονα ( π.χ. ίδιες μονάδες και στους δύο άξονες κ.α.) και στον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων πραγματικής μεταβλητής. Τέλος, με τη βοήθεια του λογισμικού δυναμικής γεωμετρίας Geogebra και των φύλλων εργασίας, οι μαθητές δημιουργούν μόνοι τους, διερευνούν δυναμικά και κατασκευάζουν την ημιτονοειδή καμπύλη μεταβάλλοντας γωνίες, καθώς η μεταβολή αυτή αποτυπώνεται σε νέο σύστημα συντεταγμένων. Οδηγούνται στο συμπέρασμα ότι σε κάθε τιμή της γωνίας χ αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του ημιτόνου και ορίζουν τη συνάρτηση του ημιτόνου, ενώ ακολουθεί η μελέτη της. Επαναλαμβάνουν τη διαδικασία για τη συνάρτηση του συνημιτόνου, ενώ ο ορισμός και η μελέτη της συνάρτησης της εφαπτομένης προτείνεται σαν εργασία για το σπίτι.

Σε όλη τη διάρκεια της φάσης οι μαθητές δουλεύουν ομαδικά, πειραματίζονται και εξάγουν συμπεράσματα, τα οποία συζητούν με το σύνολο του τμήματός τους.

 

 


Επέκταση των τριγωνομετρικών αριθμών για οποιαδήποτε γωνία

Επειδή το βίντεο είναι στην αγγλική γλώσσα, θα γίνει η απαραίτητη μετάφραση και θα δίνονται επεξηγήσεις στους μαθητές κατά τη διάρκεια προβολής του.

Φύλλο εργασίας 1

Από τις γωνίες στους πραγματικούς αριθμούς


Ορισμός των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου


Φύλλα εργασίας 2,3,4

Μια γρήγορη επανάληψη


Η απεικόνιση του R στον τριγωνομετρικό κύκλο


Φύλλο εργασίας 1

Δημιουργός Σεναρίου: Μαρία Καλογήρου (Εκπαιδευτικός)

ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΤΙΚΟ (τι είναι;)
Το σενάριο «Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και οι εφαρμογές τους» έχει χαρακτηριστεί ως Βέλτιστο (βαθμολογία 70 μονάδων και άνω) ύστερα από αξιολόγηση που πραγματοποιήθηκε από δύο αξιολογητές βάσει κριτηρίων που ορίστηκαν από το ΔΣ του ΙΕΠ.
1490